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《Cht6解线性代数方程组的迭代法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1引言第6章解线性代数方程组的迭代法考虑线性方程组也就是AX=b.(1.1)低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)。大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多.如偏微方程数值解产生的线性方程组,n≥104)的求解问题？零元素多，适合用迭代法。我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。例1求解线性方程组记为Ax=b,即精确解x*=(3,2,1)T.改写(1.2)为或写为x=B0x+f,即任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,代入(1.3)得到x(1
2、)=(2.5,3,3)T.反复迭代即x(k+1)=B0x(k)+f，(k=0,1,2,…)§2基本迭代法考虑线性方程组也就是Ax=b.(2.1)进行矩阵分裂A=M-N,(2.2)其中M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解.于是,Ax=b⇔x=M-1Nx+M-1b.可得一阶定常迭代法:一、雅可比迭代法可以得到计算公式(雅可比迭代法)：对k=0,1,…,二、高斯—塞德尔迭代法还可得到迭代计算公式：对k=0,1,…,称为高斯—塞德尔迭代法.例2求解线性方程组(1.2)取初值x(0)=(0,0,0)T,高斯—塞德尔迭代法又等价
3、于：对k=0,1,…,SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…,三、逐次超松驰(SOR)迭代法说明:1)ω=1,GS;2)运算量;3)ω>1超松驰,ω<1低松驰;4)控制迭代终止的条件:例3用上述迭代法解线性代数方程组初值x(0)=0，写出计算格式。P242.作业:P259,2.§3迭代法的收敛性分析一、一阶定常迭代法的基本定理1)Jacobi:BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b;2)Gauss-Seidel:BG=(D-L)-1U，fG==(D-L)-1b;3)SOR:BSOR=(D-wL)-1{(1-w)D+wU}，
4、fSOR=w(D-wL)-1b.迭代的统一格式：x(k+1)=Bx(k)+f例5考察用雅可比迭代法求解线性方程组定义3（1）按行严格对角占优：（2）按行弱对角占优：上式至少有一个不等号严格成立。二、某些特殊方程组的迭代收敛性*定义每行每列只有一个元素是1,其余元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).作业:P259,5.定理6(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。定理7若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-S
5、eidel迭代都收敛。证明若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征值λ使得
6、λ
7、≥1，并且类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ的某一特征值λ使得
8、λ
9、≥1，并且定理9对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当0<ω<2时，SOR迭代收敛.证明只需证明λ<1（其中λ为Lω的任一特征值）.定理10对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角
10、占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0
