方程组迭代法ppt课件.ppt

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1、作业P911(2),2,3(2),4,5,61第四章线性方程组的迭代法思路将改写为等价形式，建立迭代　。从初值出发，得到序列。研究内容：如何建立迭代格式？收敛速度？向量序列的收敛条件？误差估计？2§4.1三种基本的迭代法4.1.1．雅克比（Jacobi）迭代法（以三阶方程组为例）3假设则方程组可写为：4任选一初值向量：称为雅可比(Jacobi)迭代5对于n阶方程组则雅可比迭代公式为:6n阶方程的Jacobi迭代格式:7若用矩阵来表示雅可比迭代，则如下:令A=D-L-U，其中A=-L-UD8Ax=b,(D–L–U)x=bDx=(L+U)x+b迭代Dx(m+1)=(L

2、+U)x(m)+b,若则D可逆,于是得称为雅可比迭代矩阵.则有：94.1.2高斯—赛德尔迭代法(Gauss-Seidel)对雅可比迭代法作如下的改进：将初值代入4.1的第一个方程可得,用代入第二个方程得,用代入第三个方程得,这样一直做下去,直到得到满意的解为止.10这种迭代称为高斯—赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法（G-S）11n阶方程的G-S迭代格式:12用矩阵表示：即：称为高斯-赛德尔迭代矩阵n阶方程的G-S迭代格式:13例1（p75）：分别Jacobi及G-S迭代法解下列线性方程组。初值均取(0，0，0)T解:具体解法见课本。用matlab求解,程序如下14%

3、用雅可比法解P75例1a=[9,-1,-1;-1,8,0;-1,0,9];D=-(a-triu(a)-tril(a));L=-(tril(a)-b);U=-(triu(a)-b);xo=[0;0;0];bo=[7;7;8];ep=0.0001;dx=1;k=0;whiledx>epk=k+1;x=D(L+U)*xo+Dbo;dx=abs(norm(x)-norm(xo));xo=x;endk,x%用G-S法解P75例1a=[9,-1,-1;-1,8,0;-1,0,9];D=-(a-triu(a)-tril(a));L=-(tril(a)-b);U=-(triu(a)-b

4、);xo=[0;0;0];bo=[7;7;8];ep=0.0001;dx=1;k=0;whiledx>epk=k+1;x=(D-L)U*xo+(D-L)bo;dx=abs(norm(x)-norm(xo));xo=x;endk,x15从计算结果可以看到：如果两种迭代法都收敛，那么Jacobi迭代法慢于G-S迭代法。这个结论具有一般意义。164.1.3超松弛迭代法（SOR）一、考虑分裂法1718称SOR迭代阵故SOR迭代格式为：19二、换个角度看SORG-S可看作：20SOR的基本原理:令希望通过选取合适的来加速收敛。与是统一的。说明如下：表达式21其向量形式为：22写成

5、分量式的计算公式为:此方法称为带有松弛因子ω的松弛迭代法.当ω>1时称为超松弛迭代法(SOR法);当ω<1时称为低松弛迭代法;当ω=1时就是G-S迭代法.23例2(p78):用SOR法求解方程解：根据p78公式（4.10），写出SOD迭代格式：24%用SOR法解P96例2a=[4,-2,-4;-2,17,10;-4,10,9];D=-(a-triu(a)-tril(a));L=-(tril(a)-D);U=-(triu(a)-D);xo=[0;0;0];bo=[10;3;-7];omiga=1.46;ep=0.000001;dx=1;k=0;whiledx>epk=k+1;

6、x=(D-omiga*L)(omiga*U+(1-omiga)*D)*xo+(D-omiga*L)bo*omiga;dx=abs(norm(x)-norm(xo));xo=x;endk,x25Matlab的关于三种迭代法的通用程序%雅可比法解方程的通用程序%A为线性方程组,X为初值function[x,k]=ya2(A,X)n=length(A');a=A(:,1:n-1);bo=A(:,n);N=size(X);ifN(1)

7、);ep=0.0001;dx=1;k=0;whiledx>epk=k+1;x=D(L+U)*xo+Dbo;dx=norm(x-xo);xo=x;end1.雅可比迭代法的通用程序262.高斯_塞德尔迭代法的通用程序%G_S法解方程组的通用程序%A为线性方程组,X为初值function[x,k]=ya4(A,X)n=length(A');a=A(:,1:n-1);bo=A(:,n);N=size(X);ifN(1)