微分法 二阶导数和二阶微分课件.ppt

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1、§2-3微分法二阶导数和二阶微分一、四则运算法则定理注意：函数u(x),v(x)在点x处可导这一条件必不可少。证(3)证(1)、(2)略.注①（1）即是和、差的导数等于导数的和、差（2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数乘以第二个因子再加上第一个因子乘以第二个因子的导数（3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方②（1）可推广到任意有限个可导函数的情形③（2）也可推广到任意有限个函数的情形即线性组合的导数等于导数的线性组合——说明求导是一线性运算⑤作为（3）的一种特殊情况，④作为（2）的特殊情况即常数因子可以提到导数符号的

2、外面可以先计算导数,再计算微分dy=f(x)dx也可以先计算微分再计算导数例1解法1解法2例2解同理可得例3解同理可得2.链式公式复合函数的求导法则定理证推广例1解例2解例3解微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例1解例2解例1设函数f(x)可导，求下列函数y的导数:关于抽象函数求导举例：例2解反函数的导数(p99)定理证于是有例1解同理可得例2解常数和基本初等函数的导数公式基本初等函数的微分公式隐函数导数(P95,）1.隐函数:由二元方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.把一个隐函数化为显函数的过程,称为隐函数的显化.如:x2+y2=1,y=但并

3、非每个隐函数都可显化,例如：ey+xy=02.隐函数的求导法设由方程F(x,y)=0确定一个函数y=y(x),则F(x,y(x))=0,两边对x求导(或两边微分）,即可解出导数y(x).注意:y=y(x)为x的函数.例1解解得注意：现在y是x的函数，由复合函数的求导法：例2设由确定y为x的函数,求dy.解应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有4.幂指函数求导对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:一般地例1解等式两边取对数得例2解等式两边取对数得注意：在对数求导法中，总是要遇到

4、lny对x的导数5（P97）由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?注：摆线(旋轮线)是数学、力学和物理上比较最要的曲线.伽利略第一位研究（意大利,1564—1642）提出按旋轮线形造桥；例解所求切线方程为6.二阶导数的定义问题:定义记作例1解由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解同理可得例3解由参数方程所确定的函数的二阶导数例1解例2：设求设存在且不为零。解：例1解隐函数的二阶导数：例2设y=y(x)由方程ey=xef(y)确定,f二阶可导,f1,求y.解方程两边对x求导:eyy=ef(y)+xef(y)f(y)

5、y故解可导不一定存在故用定义求例设连续，且，求.抽象函数二阶微分的定义二阶微分不具有形式不变性例1解应用题：例2、证明星形线上任一点的切线介于两坐标轴之间的一段等于定长a。解：有隐函数求导法从而，在点(x0,y0)的切线方程在两坐标轴上的截距为例3解所求切线方程为显然通过原点.例4解仰角增加率例5.证明曲线xy=a2(a>0)上任意点切线与坐标轴组成三角形面积等于常量。证明：设任意点（x0,y0）两端对x求导数y+xy=0y(x0,y0）=-y0/x0切线方程：y-y0=-y0/x0(x-x0),与两轴交点（0,2y0）(2x0,0)故三角形面积=1/

6、2（2x02y0）=2a2命题成立例6如图是个高4米底半径2米的圆锥容器，若以2米3/秒速度注水，求水深3米时水面的上长速度。解V=1/3(πr2h)2相似三角形：r/2=h/4,r=h/2代入得4rV=πh2/12h两边对t求导解得相关变化率