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1、§2复合函数微分法凡是学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.一、复合函数的求导法则二、复合函数的全微分一、复合函数的求导法则设函数(1)定义在平面的区域D上,函数(2)定义在xy平面的区域上.若则可构成复合函数:(3)其中(1)为内函数,(2)为外函数,(x,y)为中间变量,(s,t)为自变量.下面将讨论复合函数F的可微性,并导出F的偏导数与全微分的复合运算法则.定理17.5若在点可微，在点可微,则关于s与t的偏导数分别为复合函数在点可微，
2、且(4)是(6)证由假设在点可微,于(7)现把(5),(6)两式代入(7)式，得到其中时又由在点可微,故有其中时，并可补充定义:当时,整理后又得其中并求得z关于s和t的偏导数公式(4)．从而也有以及于是在(9),(10)两式中,当时,有公式(4)也称为链式法则．能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成立．例如注如果只是求复合函数关于s或t的偏导数,则上述定理中只须具有关于s或t的偏导数就够了.因为以或除(7)式两边,然后让或也能得到相应的结果.但是对外函数的可微性假设是不为内函数，则得到以t为自变量的复合函数由§1习题6已知但在点(0
3、,0)不可微.若以为外函数,这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微这个条件.解所讨论的复合函数以(u,v)为中间变量,(x,y)为自变量,并满足定理17.5的条件.故由关于自变量的偏导数为根据公式(4)得到例2因此有于是解复合后仅是自变量t的一元函数．于是例3的复合函数对t求导数(这种导数又称为“全导数”);求偏导数．二者所用的符号必须有所区别．例4用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:注上面第一个等式中，左边的是作为一元函数右边的是外函数(作为u,v,t的三元函数)对t则有由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数导数的问题,如今
4、可用多元复合函数的链式法则来计算.解令由于而实用的写法(省去了引入中间变量):说明上面的解法是通过引进中间变量后,借助链式法则而求得的;上述过程还有一种比较简洁例6设在上的可微函数满足方程证明:在极坐标系里只是的函数．为此设证本题即是要证明:经极坐标变换后，满足是的函数．从而在上的极坐标系里与无关,于是只二、复合函数的全微分分为(11)如果作为中间变量,又是自变量的可微函数则由定理17.5知道,复合函数是可微的,其全微分为将(13)式代入(12)式,得到与(11)式完全相同的结果,这就是多元函数的一阶(全)微分形式不变性.利用微分形式不变
5、性,能更有条理地计算复合函数的全微分．因此并由此得到复习思考题1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一个结果:数与指数函数求导数而得到的.有人认为这是偶然的巧合，也有人认为这是必然的结果．试问哪一种看法是正确的？请说出依据．的复合函数.考察下面计算复合函数偏导数的一种写法:试问这个写法有何不妥？怎样纠正？2.设由可微的得作业P1321、偶数题2、3、5*7、8
