线性代数第1章第1节矩阵的概念课件.ppt

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1、第一章矩阵第一节矩阵的概念一、引例二、矩阵的概念三、几种特殊的矩阵1矩阵是线性代数的主要研究对象之一和数学工具.矩阵概念及运算的引入，不仅推动了线性代数及其他数学分支理论的发展，而且在自然科学的各个分支及经济分析、经济管理、计算机科学等领域中有重要的应用．在这一章里，我们将介绍矩阵的运算，可逆矩阵,矩阵的初等变换等关于矩阵的基本理论．这些内容是学习后面各章的基础.2引例1考试成绩表假设我们记录4名学生甲、乙、丙、丁的3门课程(数学、语文、英语)的期末考试成绩．满分为100分，期末考试成绩如表1.1所示.表1.1期末考试成绩表课程成绩学生数学语文英

2、语甲乙丙丁908695788070929396667475一、引例3更简单地，可将这个表记为下面的形式这样的一个矩形数表就称为一个4行3列或43的矩阵.4引例2生产原料表设有三个炼油厂以原油作为主要原料，利用一吨原油生产的燃料油、柴油和汽油数量如表1.2所示(单位：t):表1.2生产原料表第一炼油厂第二炼油厂第三炼油厂燃料油柴油汽油0.7620.4760.2860.1900.4760.3810.2860.3810.5715这些数据按原来的排列顺序可以组成一个33的数表，并称之为3阶矩阵：其中第一行表示各炼油厂利用一吨原油生产的燃料油数量．其中

3、的不同数值则反映出各炼油厂在工艺和技术上的不同．第二、三行也有类似含义．矩阵的各列反映出各炼油厂生产的各类油品的构成情况.6引例3二次曲线的矩阵二次曲线的一般方程为ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0.(1)(1)的左端可以用表xy1xy1abdbcedef来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应的7x,y或1的乘积的系数，而(1)的左端就是按这样的约定所形成的项的和.换句话说，只要规定了x,y,1的次序，二次方程(1)的左端就可以简单地用矩阵来表示.通常，(2)称为二次曲线(1)的矩阵.ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+

4、f=0.(1)8研究抽象ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0xy1xy1abdbcedef从方程到矩阵的过程如下：简化方程表格矩阵以后我们会看到，这种表示法不只是形式的.事实上，矩阵(2)的行列式就是解析几何中二次曲线的不变量I3，这表明了矩阵(2)的性质确实反映了它所表示的二次曲线的性质.9引例4通路矩阵a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图．每条线上的数字表示联结该两市的不同通路总数.由该图提供的通路信息,可用矩阵式表示,称之为通路矩阵.10引例5价格矩阵四种食品(Food)在三家商店(Shop)中

5、,单位量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出11引例6系数矩阵线性方程组的系数aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)按原位置构成的一数表：12二、矩阵的概念定义1.1设F是由一些数组成的集合，其中包含0和1.如果F中的任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F中的数，则F就称为一个数域．全体整数组成的集合不是一个数域；而全体有理数组成的集合Q、全体实数组成的集合R和全体复数组成的集合C都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域．本章涉及的矩阵在无特别说明的情况下，均指实数域R上的矩阵．13矩阵的

6、定义简记为A=(aij)mn或Amn.由mn个数aij,(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的一个m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称mn矩阵.其中aij称为矩阵的第i行第j列的元(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).通常用大写黑体的拉丁字母A、B、C等表示矩阵.14实矩阵:元素是实数.复矩阵：元素是复数.例如：是一个2×4实矩阵.是一个3×3复矩阵.是一个3×1矩阵.是一个1×4矩阵.是一个1×1矩阵.15零矩阵(ZeroMatrix):注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.例如：元素全为零的矩阵称为零矩阵，

7、m×n零矩阵记作Om×n或在明确行数、列数的情况下记作O.三、几种特殊的矩阵16行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMatrix):只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).如如17方阵(SquareMatrix):行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶矩阵（或称为n阶方阵）,也可记作An.常简记为A=(aij)n，例如如是一个3阶方阵.显然一阶矩阵(a)就是一个数，即(a)=a．18对角矩阵(DiagonalMatrix):方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零．数量矩阵(ScalarMatri

8、x):方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零.19单位矩阵(IdentityMatrix):记作：En或E方阵，主对角元素全为1