线性代数第一讲 解方程组课件.ppt

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1、第一讲解方程组上页下页铃结束返回首页补充例题线性方程组的几种等价形式Axbx1a1x2a2xnanb线性方程组具有几种等价的形式其中A(aij)(a1a2an)称为系数矩阵x(x1x2xn)T称为未知数向量b(b1b2bm)T称为常数项向量提示ai(ai1ai2aim)T它是xi系数构成的列向量(矩阵)线性方程组的几种等价形式Axbx1a1x2a2xnanb线性方程组具有几种等价的形式其中A(aij)(a1

2、a2an)称为系数矩阵x(x1x2xn)T称为未知数向量b(b1b2bm)T称为常数项向量矩阵方程Axb以向量x为未知元它的解称为线性方程组的解向量矩阵B(Ab)称为线性方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容下页克拉默法则的证明克拉默法则可以叙述为对于n个变量n个方程的线性方程组Axb如果它的系数行列式D0则它有唯一解证明因为

3、A

4、D0故A1存在由Axb有A1AxA1b即xA1b根据逆阵的唯一性知

5、xA1b是线性方程组的唯一的解向量先证解的存在性与唯一性下页克拉默法则的证明克拉默法则可以叙述为对于n个变量n个方程的线性方程组Axb如果它的系数行列式D0则它有唯一解证明再确定解的形式结束例用克拉默则解方程组解齐次线性方程组的相关定理定理如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解.定理如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.例问取何值时，有非零解？解齐次方程组有非零解，则所以或时齐次方程组有非零解.定理1n元线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(Ab)(2

6、)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n>>>>>>>>>下页R(A)R(Ab)Axb无解的证明若R(A)rR(Ab)则B=(Ab)的行最简形形如于是B0的第r1行对应矛盾方程01故方程Axb无解返回R(A)R(Ab)nAxb有唯一解的证明若R(A)R(Ab)n则B(Ab)的行最简形形如B0对应方程组为故方程Axb有唯一解返回R(A)R(Ab)nAxb有无限多解的证明若R(A)R(A

7、b)rn则B=(Ab)的行最简形形如B0对应方程组为令自由未知数xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr个参数的解由于参数可任意取值故方程Axb有无限多个解返回定理2线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(Ab)定理3n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n定理1n元线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(Ab)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(Ab)

8、n当方程组Axb有无限多个解时其解的形式为线性方程组的通解这是方程组的含有参数的解称为方程组的通解令xr1c1xncnr可得其中xr1xn是自由未知数下页>>>求解线性方程组Axb的步骤(1)对于非齐次线性方程组把它的增广矩阵B化成行阶梯形从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)则方程组无解(2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形而对于齐次线性方程组则把系数矩阵A化成行最简形(3)设R(A)R(B)r把行最简形中r个非零行

9、的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数其余nr个未知数取作自由未知数并令自由未知数分别等于c1c2cnr由B(或A)的行最简形即可写出含nr个参数的通解下页例求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B施行初等行变换得可见R(A)2R(B)3故方程组无解下页对系数矩阵A施行初等行变换得解由此得或其中c1c2为任意实数例求解齐次线性方程组>>>下页c1c2所以有例求解非齐次线性方程组解因为即>>>下页(c1c2R)c1c2解对增广矩阵B施行初等行变换得例设有线性方程组此方程组(1)

10、有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解问取何值时(1)当0且3时R(A)R(B)3方程组有唯一解(2)当0时R(A)1R(B)2方程组有无解(3)当3时R(A)R(B)2方程组有无限多个解>