福州大学大学物理(上)01-1预备知识(微积分)课件.ppt

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1、预备知识1微积分初步2函数、导数与微分一.变量、常量和函数变量：在某现象或过程中本身的取值会发生变化的量。常量（恒量）：在某现象或过程中凡取值保持一定的量。绝对常量：在任何问题中均以确定的数值出现的常量。例3.5，100，e，任意常量（待定常量）：数值需要在具体问题中给定的常量。函数：有相互联系的两个变量x和y，如果当x在其变域D内任意取定一数值时，y都有确定的值与之对应，则称y是x的函数。记作y＝f（x）变域D称作函数f（x）的定义域，所有的数值构成y的值域。3复合函数：若y为z的函数，y＝f（z），而z又是变量x的函数，z＝g（x），则称y为x的复合函数，记作y＝Φ（x）＝f[g

2、(x)]。二.导数设函数y＝f(x)在x＝x0处有增量△x，与此相应，函数y也发生一增量△y＝f（x＋△x）－f（x0），则△y与△x之比叫作函数y＝f（x）在x0到x0＋△x之间的平均变化率。若当△x→0时，有极限，则称f（x）在x0处可导，并把该极限称作f（x）在x0处的导数，记作也记为或4即若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函数的导数与之对应，于是导数成为自变量的函数，称作导函数，简称导数，记作导数基本公式：5导数的基本运算法则（其中u，v均为x的函数）6三.微分若函数y＝f（x）在点x处可导，则y＝f（x）在点x处的导数与自变量增量△x的乘积称作y＝f（x）

3、在点x处的微分，记作dy，将△x记作dx，称作自变量的微分，于是7不定积分（一）原函数设f（x）是定义在某一区间上的函数，若存在函数F（x），使得在这个区间上的每一点有则称F（x）为f（x）在该区间上的一个原函数。问题：已知某函数导数，如何求这个函数？只要函数f（x）有一个原函数F（x），它就有无穷多个原函数，彼此间只差一常数，可统一用F（x）＋C表示。8（二）不定积分定义函数f（x）的所有原函数叫作f（x）的不定积分记作用F（x）表示f（x）的一个原函数，则f（x）的不定积分可写作f（x）——被积函数f（x）dx——被积式X——积分变量∫——积分符号C——积分常数不定积分的性质：9

4、积分公式：10不定积分的运算法则11问题提出定积分实例1（求曲边梯形的面积）12用矩形面积近似取代曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．13曲边梯形如图所示，在区间[a,b]内插入若干y=f(x)14曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积：当分割无限加细，即小区间的最大长度15实例2（求变速直线运动的路程）过程求得路程的精确值．思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分设某物体作直线运动，已知速度V=V(t)是求物体在这段时间内所经过的路程.16（1）分割部分

5、路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值17定积分的定义定积分的定义18记为被积表达式积分上限积分下限被积函数积分变量积分和19注意：20定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值21几何意义：22定积分的主要性质23N-L公式牛顿—莱布尼茨公式一个原函数，即则24例3原式解例4求解25