多元函数微积分学 6.1 预备知识课件.ppt

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1、第六章多元函数微积分§6.1预备知识§6.2多元函数的极限与连续§6.3偏导数与全微分§6.4多元复合函数与隐函数求偏导数的方法§6.5高阶偏导数§6.6多元函数的极值§6.7二重积分1§6.1预备知识一、平面点集和区域二、空间直角坐标系2一、平面点集和区域1.邻域点P0的邻域：点P0的去心邻域：32.点集与点的关系设有点集D及一点P:若存在点P的某邻域U(P)D,若存在点P的某邻域U(P)∩D=,若对点P的任一邻域U(P)既含D中的点也含有则称P为D的内点；则称P为D的外点;则称P为D的边界点.不属于D的点,显然,D

2、的内点必属于D,D的外点必不属于D,D的边界点可能属于D,也可能不属于D.D的边界点的全体称为E的边界.43.开区域及闭区域D若点集D的点都是内点，则称E为开集；若点集DD,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作D;5例如，在平面上开区域闭区域6整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离

3、APK,则称D为有界域,界域.否则称为无7二、空间直角坐标系ⅦⅡⅢⅥⅧⅣ由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ8在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组------称为点M的坐标.原点O(0,0,0);9坐标轴:坐标面:102.空间两点间的距离公式对两点与因为所以即A、B两点的距离为11例1在z轴上求与两点等距解设该点为解得故所求点为及思考:(

4、1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹?离的点.123.空间曲面与方程说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解设轨迹上的动点为轨迹方程.13定义如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)以满足此方程的数组(x,y,z

5、)都满足此方程;为坐标的点都在S上,空间曲线可视为两曲面的交线,其方程表示为14例2求动点到定点故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.15例3研究方程解配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.16例4分析方程(1)范围：(2)与坐标面的交线：表示的曲面.解椭圆双曲线双曲线17与的交线为椭圆：那么方程同样的截痕及也为双曲线.(3)截痕:表示单叶双曲面.

6、18例5分析方程(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆表示的曲面.解19与的交线为椭圆：那么方程同样的截痕及也为椭圆.(3)截痕:表示椭球面.20例6分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为故方程过此点作圆柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面.在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,母线准线21例7几种常见的曲面.(1)平面(2)抛物柱面22(3)椭圆锥面(4)椭圆抛物面(p,q同号)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.23