材料力学 第十二章 能量法课件.ppt

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1、材料力学第十二章　能量法1第十二章能量法§12-1概述§12-2杆件变形能的计算§12-3互等定理§12-6单位载荷法莫尔定理§12-4卡氏定理§12-7计算莫尔积分的图乘法§12-5虚功原理习题解答2§12-1概述一、能量方法利用与功和能有关的一些定理（能量原理）求解可变形固体的位移、内力等的方法。对于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。二、功能原理U=W三、外力功固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用线方向的位移，外力因此而做功，即外力功。在弹性范围内，弹性体在外力作

2、用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。四、变形能3§12-2杆件变形能的计算1、轴向拉压的变形能当轴力或截面发生变化时：当轴力或截面连续变化时：当轴力不变且为等直杆时：42、扭转杆内的变形能3、弯曲变形的变形能纯弯曲横力弯曲变形能等于内力的平方乘以构件的长度再除以2倍的刚度，若内力或刚度为变量时，将长度取为微量再积分54、组合变形的变形能截面上存在几种内力，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。5、变形比能（J/m3)单位体积的应变能，记作u6例12－1、试求图示悬臂梁的变形能，并利

3、用功能原理求自由端B的挠度。ABFl解：由U=W得：x7例12-2、试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。ABCFabl解：x1x2由U=W得：8例12-3、试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI为常量。ABFOR解：θ由U=W得9例题12-4、拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EA，受到F1和F2两个力作用.若先在B截面加F1，然后在C截面加F2；若先在C截面加F2，然后在B截面加F1.分别计算两种加力方法拉杆的应变能.ABCabF1F210(1)先在B截面加F1，然后

4、在C截面加F2ABCabF1在B截面加F1，B截面的位移为：外力作功为：再在C上加F2F2C截面的位移为：F2作功为：11在加F2后，B截面又有位移（F1作用点又有位移）：在加F2过程中F1作功：所以应变能为：ABCabF1F2常力作功12(2)若先在C截面加F2，然后B截面加F1.在C截面加F2后，F2作功在B截面加F1后，F1作功ABCabF1F2加F1引起C截面的位移：在加F1过程中F2作功（常力作功）：所以应变能为：应变能只与外力的最终值有关与加载过程和加载次序无关。13注意：1、注意常力做功与变

5、力做功的区别；2、多个外力引起的同种变形能不能简单叠加而是要算出合内力后，再用变形能公式计算；如果各外力相互独立，即引起的变形互不相同，此时不同的变形能可以叠加。3、功能原理只能计算构件只作用一个力，力的作用点沿力作用线方向的位移。mF2F1TTFFABF2F1C14§12-3互等定理两力作用点沿力作用方向的位移分别为：F1，F21、设在线弹性结构上作用力：1，2一、功的互等定理12F1F215F1F212F1和F2完成的功应为：2、在结构上再作用有力：F3，F4沿F3和F4方向的相应位移为：3,4F

6、334F4F3和F4完成的功应为：163、在F3和F4的作用下，F1和F2的作用点又有位移：F1和F2在1´和2´上完成的功应为：F1F212F334F4，因此，按先加F1，F2后F3，F4的次序加力，结构的应变能为：17F1F21234F4F3若按先加F3，F4后加F1，F2的次序加力，又可求得结构的应变能为：由于应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关,故：18功的互等定理:第一组力在第二组力引起的位移(沿第一组力的方向)上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移(沿第二组力的方

7、向)上所作的功。二、位移互等定理若第一组力只有F1，第二组力只有F3，则：如果F1=F3，则有：FF19位移互等定理：三、注意1、力和位移分别是广义力和广义位移；2、这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，即只是由变形引起的位移。如果两个力大小相等，那么第一个力引起第二个力作用点的位移等于第二力引起的第一个力作用点的位移（位移均沿力的作用方向）。20§12-4卡氏定理21i设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移。作用有外力：F1，F2，，Fi，相应的位移为：1，2，，i，F1F2Fi结构的变形能：

8、21只给Fi一个增量Fi.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为：21iF1F2Fi在作用Fi的过程中，Fi完成的功为：原有的所有力完成的功为：结构应变能的增量为：22如果把原来的力看作第一组力，而把Fi看作第二组力，根椐互等定理：略去高阶微量：或者：当Fi趋于零时，上式为：这就是卡氏第二定理（卡氏定理）23说明(1)卡氏第二定