高数课件 拉格朗日中值定理与函数单调性判别法.ppt

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1、第一节、拉格朗日中值定理与函数单调性的判定法第三章、导数的应用一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理教学目的1．熟悉拉格朗日中值定理并会用其证明不等式2．掌握函数单调性判定教学重点难点重点：1．拉格朗日中值定理2．函数单调性判定难点：函数单调性的判别一、微分中值定理观察与思考：设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等提问：直线AB的斜率k=?f(x)?提示：直线AB的斜率如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导那么在(ab)内至少有一点x使得f(b)f(a)f(x)(ba)1、拉格朗日中值定理f(b)

2、f(a)f(x)(ba)f(xDx)f(x)f(xqDx)Dx(0

3、三个条件有一个不满足则定理的结论有可能不成立2、罗尔定理如果函数yf(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(ab)使得f(x)03、柯西中值定理函数f(x)及F(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且F(x)在(ab)内恒不为零那么在(ab)内至少有一点x使得注意：如果取F(x)x那么F(b)F(a)baF(x)1因而柯西中值公式就可以写成f(b)f(a)f(x)(ba)(a

4、理的几何意义提醒上面曲线用参数方程表示例.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉格朗日中值定理的ξ值。解：f(1)-f(0)=3∴2ξ+2=3∴ξ推论：常数的导数为零；在区间上每一点导数都为零的函数是常值函数；两个函数的导函数相同，则此两函数相差一个常数。2021/8/4二.函数单调性的判定法0xy0xyabABabAB几何特征：定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。y=f(x)y=f(x)

5、f'(x)>0f'(x)<0注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间结论同样成立。2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点都有f'(x)>0(或f'(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调增加(单调减少).解：1）定义域为(-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）单调减区间为（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20例：解：1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).3)列表

6、:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞)单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-如果F(x)满足下面的条件：F(x)=f(x)－g(x)利用单调性证明不等式：例解小结与作业1.拉格朗日中值定理及推论。2.函数单调性的判定方法与步骤。3.作业：P613、4