应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形课件.ppt

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1、第二章矩阵的相似标准形(10学时)内容提要：多项式矩阵及其性质；特征矩阵、特征多项式、特征值、特征向量；初等变换、等价；Smith标准形、不变因子、行列式因子、初等因子；零化多项式和最小多项式及其计算方法；矩阵的相似、矩阵相似的条件；Jördan标准形、有理标准形；正规矩阵及其性质；Hermite矩阵、酉矩阵的酉对角化方法，Hermite二次型的标准形及分类法.1§2.1特征矩阵及其Smith标准形,此处，A=(aij)nn特征多项式：f()=

2、E–A

3、=n+a1n-1++an-1+an其中，a1=-trA=-(a11+a22++ann),an=(-1)n

4、A

5、特征值：f(

6、)=0的根，即使E–A为退化矩阵的数特征向量：(E–A)X=0的非零解(为特征值)谱：全部特征值的集合，记作(A)有关特征值与特征向量的几个结论一、方阵的特征矩阵特征矩阵：E–A=2§2.1－1方阵的特征矩阵矩阵多项式：以方阵A代入一个多项式f(x)的值，或者说是f(x)在x=A处的值函数矩阵：元素是函数的矩阵多项式矩阵或-矩阵：元素是的多项式的矩阵记f(x)=xn+a1xn-1++an-1x+an，则f(A)=An+a1An-1++an-1A+anE若f()为的特征多项式，则f(A)=0.(p60Th2.11,Hamilton-Cayley定理)如：方阵的A特征矩

7、阵E–ANote：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式数字矩阵：元素是数的矩阵3§2.1－1方阵的特征矩阵定义2.1对任意的-矩阵A()K[]mn，如果A()有一个r级子式非零，而所有r+1级子式等于零，则称A()的秩为r，记作rankA()=r.(1rmin{m,n})定义2.2设A()K[]nn,如果

8、A()

9、0,则称A()是满秩的或非奇异的.定义2.3设A()K[]nn，若有B()K[]nn使得A()B()=B()A()=E,则称A()是可逆的或单模态的.1)A有一个r级子式不等于零的充分必要条件是r(A)r2)A的所有

10、r+1级子式等于零的充分必要条件是r(A)r关于mn的数字矩阵A的秩，有一个重要结论4§2.1－1方阵的特征矩阵定理2.1(1)若A()Knn可逆，则A()非奇异；反之不真.(2)A()Knn可逆的充分必要条件是detA()等于非零常数c.学习-矩阵的基本方法是：由于-矩阵与数字矩阵在基本概念、基本性质、基本操作和主要结论等方面有很多的共同点，因而只需了解它们相同与不同的地方，即求同存异.对任意方阵A，它的特征矩阵E–A是满秩的，但不是可逆的-矩阵.5二、特征矩阵的Smith标准形-矩阵的三类初等行(列)变换表示方法：[i,j],[i(k)],[i+

11、j·()](标在箭头上方/下方)定义2.4设A(),B()K[]mn,如果A()可经若干次初等变换化为B()，则称A()与B()等价，记A()B().定理2.2若A()B()，则rankA()=rankB().初等矩阵的定义，初等矩阵的基本性质初等变换与初等矩阵的相互关系(Lemma:对一个mn的-矩阵A()作一次初等行／列变换相当于在A()的左／右边乘一个相应的初等矩阵)-矩阵A()可逆A()可表为初等矩阵的乘积K[]mn中矩阵的等价关系满足自反性、对称性和传递性6§2.1－2特征矩阵的Smith标准形定义2.5若n阶对角矩阵S(

12、)=diag(d1(),d2(),…,dn())中，每一个非零的di()都是首1多项式,且di()

13、di+1()，(i=1,2,…,n-1)，则称S()是一个Smith标准形或法对角形（-矩阵的标准形）Note:di()=1d1()=d2()=…=di-1()=1dk()=0dk+1()=dk+2()=…=dn()=0定理2.3对任意的A()K[]nn，A()等价于一个Smith标准形S()，称这个S()为A()的Smith标准形.Sketchoftheproof:不妨设A()非零，设G()是所有与A()等价的中，(1,1)位置元素次

14、数最低的一个矩阵，则g11()

15、gij()(i,j)，把G()化为准对角形，再用数学归纳法…(关键是找G())7§2.1－2特征矩阵的Smith标准形定理2.4对任意ACmn,其特征矩阵A的Smith标准形S()=diag(d1(),d2(),…,dn())中,所有di()都是非零多项式.称di()为A的第i个不变因子,i=1,2,…,n.例2.1设A=求A的Smi