矩阵的标准形.ppt

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1、同济大学数学系2009-3-22第3章矩阵的标准形武汉理工大学理学院3.1一元多项式定义.设n是一个非负整数，表达式23则称f(x)与g(x)相等，记作f(x)=g(x)。若其同次项的系数都相等，即定义.4多项式加法为了方便起见，设5运算规律:6数乘多项式运算规律:7多项式乘法其中k次项的系数是8运算规律:9定理3.1.1（带余除法）设f(x)和g(x)是数域F上的多项式，并且q(x)和r(x)是唯一的，带余除法且g(x)≠0，则必存在多项式q(x)和r(x)，使得若r(x)=0，则称g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式，也称g(x)能

2、整除f(x)，并记作g(x)

3、f(x)。10例3.1.1设f(x)和g(x)是有理数域F上的两个多项式求满足等式的多项式11123.2因式分解定理若h(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，则称h(x)为f(x)与g(x)的一个公因式。定义.若h(x)既是f(x)的倍式，又是g(x)的倍式，则称h(x)为f(x)与g(x)的一个公倍式。则称d(x)为f(x)和g(x)的一个最大公因式。则称d(x)为f(x)和g(x)的一个最小公倍式。，并且满足:，并且满足:14不可约多项式定义.设，若在数域F上只有平凡因式，则称为域F上的不可约多项式，否则，称

4、为域F上的可约多项式。注意：(1)一次多项式总是不可约多项式；(2)多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。例如，15因式分解唯一性定理定理.数域F上任一个次数不小于1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。其唯一性是指，若有两个分解式则s=t,并且经过对因式的适当排序后有其中为非零常数。16称为标准分解式。分解式其中a是f(x)的首项系数，是首项系数为１的不可约多项式，而是正整数17复系数多项式的因式分解定理：因式分解定理次数不小于1的复系数多项式在复数域上可唯一地分解成一次因式的乘积。标准分解式为复系数多项式的其中是正

5、整数，且18实系数多项式的因式分解定理：次数不小于1的实系数多项式在实数域上可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。标准分解式为实系数多项式的其中和是正整数，且的标准分解式。例求在实数域上的标准分解式:在复数域上的标准分解式:Problem：矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？Solution：理想情况下：A为对角形并非所有的矩阵都可以对角化Jordan标准形理论。Jordan标准形的应用:微分方程组的解3.3矩阵的Jordan标准形Jordan块:形如的ni阶矩阵称为ni阶Jordan块。分块对角阵称为Jordan标准形Jordan标准形定理

6、：任何n阶复方阵A都和一个Jordan标准形相似即存在可逆阵P，和Jordan标准形使得Jordan标准形基本理论求矩阵的Jordan标准形的方法(I)求矩阵的Jordan标准形的方法(I)(1)行列式因子(Determinatedivisor)(2)计算行列式因子的步骤：Step1Step2Remark.例不变因子(Invariantdivisor)(3)Remark.例30(3)定义：设A(l)的各阶不变因子在复数域的标准分解式初等因子称指数为A(l)的初等因子。Remark.来自不同的不变因子的一次因式的方幂不能合并.例的初等因子:初级因子与J

7、ordan块的关系对于ni阶的Jordan块，我们有：初级因子与Jordan块的关系(4)例例设求矩阵A的Jordan标准形。初等因子组:363.4l阵的标准形定义.元素是l的多项式的矩阵称为l矩阵，记作A(l)例如定义.设l矩阵A(l),B(l)满足称A(l)为可逆的l矩阵，且B(l)为A(l)的逆。显然，A(l)可逆38定义.l矩阵的初等变换39定义:若l矩阵A(l)经过若干次初等变换变为B(l)，l矩阵的等价则称A(l)与B(l)等价，记作40定理：设A(l)为m×n阶l矩阵，则A(l)等价于分块对角阵称为A(l)等价标准形，其中并且首项系数为

8、1，l矩阵的等价标准形例：求l矩阵的等价标准形414243l矩阵的秩定义：l矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数显然，等价的l矩阵有相同的秩。称为A(l)的秩。事实上，l矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否的状态，也就不会改变其不恒为零子式最高阶数。例如，A为n阶数字方阵，则不恒为零，故的秩为n。行列式因子定义：l矩阵A(l)的所有k阶子式的首1最大公因式称为A(l)的k阶行列式因子，记作Dk(l)定理：等价的l矩阵有相同的各阶行列式因子。事实上，初等变换不会改变A(l)各阶子式的最大公因式也就不会改变其各阶行列式因子。46例：求A(l)的等价标

9、准形的各阶行列式因子。依行列式因子的定义：47不变因子和初等因子定义：设为l矩阵A(l)的k阶行列式因子，定