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《第十章矩阵的相似标准形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、由(A—入/)X=0,即(4—/)X=0得'()01、(311、<1111)'0a、11-1-1；(2)010:(3)242:(4)i—Q0i1-11-1/100113J-1-11.第十章矩阵的相似标准形10」求下述矩阵的特征值和相应的特征向量(1)解:⑴/(Z)=det(（00丿—2/)=-A-a+Q-2=224-cz2令于（兄）=兄2+q2=0得A,=—ict^2=ia2=-ia时,解(A+iaI)x=：0.得2A=ia^寸，解(A-ial)x=0.得2=H,Dr矩阵的特征值为:入二二—icc^/^2=ia相应的特征
2、向量:X
3、=(z,l)y,X2=(-U)7-201(2)/(2)=det(A-/l/)=0-2+10=—(2—1)2(2+1)10-2令/(刃=°解得2)=22=1,23=—1,x1-x3=0解之得:X,=(0,1,0)r,X2=(1,1,l)r由(A—AQX=0,即(A+Z)X=0得+x3=02无2=0+x3=0解得：X3=(10-1/.和应的特征向量:X严(0,1,0)X2=(l,1,1/,X3=(l0-1/.3-A116-/16—26—2(3)fW=24-Z2——24-A2=(6-Z)(2-2)2113-2113-
4、2令/(A)=0,解得入=/U=2,A==6,当入===2时,对应的方程组为<111]/222x2—0即X]+兀2+兀?5=o<11b相应的特征向量为：X,=(1,-1,0)x2=(1,0,-1/.r-311]1、2-22兀2——0等价于＜11-3丿宀丿当2=6时，对应的方程组为:-兀3=0x2-2兀3=0对应的特征向量为：X3=(1,2,l)r1-21(4)/(/l)=det(?l-A/)=111-A-11-14—A111-A1-2-1-1-A-11-2-1-A-1-11-A4—212r02-A0(002-2(-2-
5、1-2-1-11-1-11-Z-1-11-A4-211102--AA—20002—AA—2-2—-1-11—2=(2-A)3(A+2)令f(2)—0解得：A,=22=A3=2,A4=—2.当入=22=久3=2时,得(4-刀)X=0.的方程组:x,-x2-x3-x4=0x,-x2-x3-x4=0I口」解组为:兀]—兀？一兀3—兀4=°相应的特征向量:X]=(l,l,o,o)r,X2=(1A1,O,)T,X3=(1,0,0,1)当A4=-2时，方程组为：3xt+兀2+兀3+兀4=0%!+3x2-x3-x4=0V%)-x2+3x
6、3-x4=0-x2-x3+3x4=0同解方程组为：+・丫4=0x2-x4=0x3-x4=0相应的特征向量X4=(1,-1,-1,-l)r10.2证明方阵力有零特征值的充要条件是力为奇界阵.证:)设A有零特征值，由(A-加)X二0.当几=0时9AX=0•有非零解，故rank(A)7、相同的特征值.10.4设2是〃阶方阵A的特征值，X是对应的特征向量，证明：(1)对任意「汛是M的特征值，X是对应的特征向量；(2)对任意数a,是A-刃的特征值，X是对应的特征向量；(3)若4非奇界，则2工0,且2"是A"的特征值,对应的特征向量仍为X；(4)对任意止整数匕才是屮的相应于特征向量X的特征值；(5)设(p(x)是某一多项式，则0(2)是矩阵0(A)相应于特征向量X的特征值.证:(1)由(A-A/)X=0.det(A-A/)X=0.XhO,得det(zA-rl)=rndet(A-Al)=0即侃是M的特征值,同时有
8、(rA-anX=0.(2)出det[(A-cd)—(入-a)l]=det(A—〃)=0.得；I—q为A—q/的特征值且((X-«/)-(A-6Z)/)X=0.(3)设A非奇异且有AX=AXf如果2=0贝IJAX=O只有零解，因此；LhO；对ax=ax左乘，便得所以『是川的特征值.(4)设：AX=AX，因为Akx=Ak1(/4x)=/4A1(Zr)=AAklx=•••=A,kx所以來为屮的特征值,特征向量仍为X.加⑸设0(兀)二工久*,则R=0(p(A)X=rm、mmk=0丿k=0k=0m(m、工(久力)X二工几力X=(p
9、WX.k=0k=0>即0(2)是©(A)的特征值，特征向量仍为X,10.5设A与3相似,即存在可逆阵X使B=X~lAX若A的和应于特征值Z的特征向量为u，问B和应于特征值A的特征向量是什么？解：由Au=Au,A=XBX~x得(XBXT)u=2u,即：B在特征值2的特征向量为X一5.10.6下述矩阵是否
