常数项级数考研辅导课件.ppt

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1、高等数学（下）BTS总体方案设计报告常数项级数一、常数项级数1.定义(常数项)无穷级数一般项或通项部分和数列{Sn}:级数的部分和：前n项之和2.级数的收敛、发散与和P1771(2)例1已知数列收敛，收敛，证明：级数收敛。余项注(1)当收敛时,Sn可看成是和的近似值.即当收敛时,(2)un＝Sn－Sn－1例如:P153例1(6)；P159例13例2证明Euler数是存在的.3、级数的基本性质结论收敛级数可以逐项相加与逐项相减.收敛级数与发散级数的和一定发散.注(1)收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.收

2、敛发散P157例6例如：()()()注意(1)仅仅是必要条件,不是充分条件.(2)如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.P157例4所以原级数发散．二、正项级数及其审敛法收敛准则正项级数收敛部分和数列有上界.发散{Sn}→＋∞例3（94年竞赛题）设判断级数的敛散性。提示：由可以证明部分和有上界。比较审敛法极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;(2)当时，若收敛,则收敛;P155例3例4讨论下列

3、级数的敛散性。～～注1必须是极限.若未必收敛.å¥=1nnu但若则必发散.å¥=1nnu例5讨论级数的敛散性.解∴当0＜x＜e时级数收敛;当x＞e时发散.当x＝e时,注意到单增,0级数发散.解此时原级数发散．例6讨论的敛散性。积分判别法：设①f(x)是[1,＋∞)上的单减非负连续函数.②un＝f(n),n＝1，2，3……则级数与广义积分同敛散.å¥=1nnu三、交错级数及其审敛法定义即：正、负项相间的级数称为交错级数.P178Ex(6)例8若当n→∞时，an与为等价无穷小,试问交错级数是否一定收敛？否，如

4、P155例2四、绝对收敛与条件收敛定理绝对收敛的级数必收敛.全体级数分为:发散级数收敛级数绝对收敛条件收敛例9解由莱布尼茨定理此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．例10判断级数的敛散性，是绝对收敛还是条件收敛？例11设判断级数的敛散性，是绝对收敛还是条件收敛？提示：易证，再用比值判别法可以证明级数绝对收敛。例12设任意项级数条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为,将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与（）两者都收敛；(B)两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D)敛散性不定.B提示

5、例13（98考题）设正项数列单调递减且发散，试问是否收敛？k≥1,绝对收敛；0≤k＜1,条件收敛；k＜0,发散。例14（02竞赛）设k为常数，判断级数的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？例15（96竞赛）设级数条件收敛，极限存在，求r值，并举一满足该条件的例子。答案：r=－1