高考数学导数零点与极值点专题.pdf

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1、导数中的零点与极值点教学目标：1.掌握函数零点、极值点问题中的常见处理方法，2.学会用估计范围、消元、换元等方法解决多变量的变形问题典型例题一、估计范围2例1.已知函数f（x）＝ax﹣bx+lnx，（a，b∈R）．（1）若a＝1，b＝3，求函数f（x）的单调增区间；（2）若b＝0时，不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a取值范围；9（3）当a＝1，b＞时，记函数f（x）的导函数f'（x）的两个零点是x1和x2（x1＜x2），263求证：f（x1）﹣f（x2）＞﹣3ln2．162【解析】（1）由题意得：x＞0，a＝1，b＝3时，f（x）＝x﹣3x+lnx，1(2xx

2、1)(1)1fx()2x3，令f'（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1，xx21故f（x）在（0，），（1，+∞）递增；22（2）b＝0时，f（x）＝ax+lnx，不等式f（x）≤0在[1，+∞）恒成立，lnxlnx2lnx1即a≤﹣在区间[1，+∞）恒成立，令h（x）＝﹣，则h(x)，223xxx令h'（x）＞0，解得：x＞e，令h'（x）＜0，解得：1＜x＜e，1故f（x）在（1，e）递减，在（e，+∞）递增，故h（x）min＝h（e）＝﹣，2e1故a≤﹣；2e的2221xbx（3）a＝1时，f（x）＝x﹣bx+lnx，fx()，（x＞0），x22由题意得x

3、1，x2（x1＜x2）是方程2x﹣bx+1＝0的两个根，记g（x）＝2x﹣bx+1，则129119g0,b,gb0，g（2）＝9﹣2b＜0，2bb244211∴x1∈（，），x2∈（2，+∞），且f（x）在[x1，x2]递减，b417b63故f（x1）﹣f（x2）＞f（）﹣f（2）＝﹣3ln2，44169796363∵b＞，∴f（x1）﹣f（x2）＞312n﹣3ln2．2421616二、换元法的使用12例2.已知函数fx()axlnx，gx()bx，设hx()fx()gx().22（1）若fx()在x处取得

4、极值，且fg(1)(1)2，求函数hx()的单调区间；2（2）若a0时函数hx()有两个不同的零点xx,.12xx12①求b的取值范围；②求证：1.2e1解：(1)因为fx()ax，所以fa(1)1,x由fg(1)(1)2可得a=b-3.2又因为fx()在x处取得极值，222所以fa()20，22所以a=-2,b=1.2所以hx()xlnxx，其定义域为（0，+）212xx1(2x1)(x1)hx()2x1=xxx1令hx()0得xx,1，122当x（0,1）时，hx()>0，当x（1,+

5、）hx()<0，所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）当a0时，hx()lnxbx，其定义域为（0，+）.'1'①hx()b,当b0,则hx()0，hx()在(0,)上单调递增，不合题意。x11当b0时，hx()在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减。bb11因为hx()有2个不同零点，所以h()0，即b(,0)be144.此时存在1使得h(1)b0,(h)0，22bbb11又hx()在(0,)和(,)都连续，bb11所以hx()在(0,)和(,)各有一个零点bb②由题意得l

6、nxbx0,lnxbx0,1122所以lnxxbx(x)0,lnxlnxbx(x)0,12122121lnxxxx1212所以，不妨设x1

7、nt,t12所以xxe.12例3.已知函数.（1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若函数在和两处取得极值，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围．解:（1），由题意得：，即，即，所以，.（2）由题意知：有两个零点，，令，而.①当时，恒成立所以单调递减，此时至多1个零点（舍）.②当时，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为有两个零点，所以，解得：因为，，且，而在上单调递减，所以在上有.1个零点；又因为（易证），则且，