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《高考数学导数零点与极值点专题.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、导数中的零点与极值点教学目标:1.掌握函数零点、极值点问题中的常见处理方法,2.学会用估计范围、消元、换元等方法解决多变量的变形问题典型例题一、估计范围2例1.已知函数f(x)=ax﹣bx+lnx,(a,b∈R).(1)若a=1,b=3,求函数f(x)的单调增区间;(2)若b=0时,不等式f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,求实数a取值范围;9(3)当a=1,b>时,记函数f(x)的导函数f'(x)的两个零点是x1和x2(x1<x2),263求证:f(x1)﹣f(x2)>﹣3ln2.162【解析】(1)由题意得:x>0,a=1,b=3时,f(x)=x﹣3x+lnx,1(2xx
2、1)(1)1fx()2x3,令f'(x)>0,解得:0<x<或x>1,xx21故f(x)在(0,),(1,+∞)递增;22(2)b=0时,f(x)=ax+lnx,不等式f(x)≤0在[1,+∞)恒成立,lnxlnx2lnx1即a≤﹣在区间[1,+∞)恒成立,令h(x)=﹣,则h(x),223xxx令h'(x)>0,解得:x>e,令h'(x)<0,解得:1<x<e,1故f(x)在(1,e)递减,在(e,+∞)递增,故h(x)min=h(e)=﹣,2e1故a≤﹣;2e的2221xbx(3)a=1时,f(x)=x﹣bx+lnx,fx(),(x>0),x22由题意得x
3、1,x2(x1<x2)是方程2x﹣bx+1=0的两个根,记g(x)=2x﹣bx+1,则129119g0,b,gb0,g(2)=9﹣2b<0,2bb244211∴x1∈(,),x2∈(2,+∞),且f(x)在[x1,x2]递减,b417b63故f(x1)﹣f(x2)>f()﹣f(2)=﹣3ln2,44169796363∵b>,∴f(x1)﹣f(x2)>312n﹣3ln2.2421616二、换元法的使用12例2.已知函数fx()axlnx,gx()bx,设hx()fx()gx().22(1)若fx()在x处取得
4、极值,且fg(1)(1)2,求函数hx()的单调区间;2(2)若a0时函数hx()有两个不同的零点xx,.12xx12①求b的取值范围;②求证:1.2e1解:(1)因为fx()ax,所以fa(1)1,x由fg(1)(1)2可得a=b-3.2又因为fx()在x处取得极值,222所以fa()20,22所以a=-2,b=1.2所以hx()xlnxx,其定义域为(0,+)212xx1(2x1)(x1)hx()2x1=xxx1令hx()0得xx,1,122当x(0,1)时,hx()>0,当x(1,+
5、)hx()<0,所以函数h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+)上单调减.(2)当a0时,hx()lnxbx,其定义域为(0,+).'1'①hx()b,当b0,则hx()0,hx()在(0,)上单调递增,不合题意。x11当b0时,hx()在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减。bb11因为hx()有2个不同零点,所以h()0,即b(,0)be144.此时存在1使得h(1)b0,(h)0,22bbb11又hx()在(0,)和(,)都连续,bb11所以hx()在(0,)和(,)各有一个零点bb②由题意得l
6、nxbx0,lnxbx0,1122所以lnxxbx(x)0,lnxlnxbx(x)0,12122121lnxxxx1212所以,不妨设x17、nt,t12所以xxe.12例3.已知函数.(1)若函数在处的切线方程为,求实数,的值;(2)若函数在和两处取得极值,求实数的取值范围;(3)在(2)的条件下,若,求实数的取值范围.解:(1),由题意得:,即,即,所以,.(2)由题意知:有两个零点,,令,而.①当时,恒成立所以单调递减,此时至多1个零点(舍).②当时,令,解得:,在上单调递减,在上单调递增,所以,因为有两个零点,所以,解得:因为,,且,而在上单调递减,所以在上有.1个零点;又因为(易证),则且,