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1、鄂西大学学报,了年第期!总第∀期#随机变量的四种收敛性∃李上桐,极限理论“”,,在数学分析中中收敛性概念极为重要如果收敛性的定义改变那么全部极限理论都要相应的改变,概率沦中也是这样,因此,概率论中的各种极限定理是随机变量的其种收敛性,研究随机变量的收敛性对于深入学习概率论是很重要的,这里,先介绍些预各味识。,,,,,·下文沐二狡!%多&#是概率空间氛!。#∋二()“⋯及戮!∗#是该概率空间中。的随视变+夏一、预备知识∃。+.,。(称厂!劝一&,邑!!−#三./!任!一0101##为戮。#的分布函数,.如呆对于#打函数列,2找#/存在一单调不减函数2!劝使在2!
2、.#的每一连续点上。。二+3二,。.,己为2!#一巡62!#452!对二2!劝训你2!约弱收敛于2!#荆弱收敛分布滋数列7。,,2!劝/的极限函数可能不准一但可以选得它是右连续的这时它,+∃的极眼必欺是唯一的!见参考书县〔(〕&(89#∃。,。。,)概+钧为连续性设:任年:。:平+∋;一:;日∋,45&∋+令人则&!:#;3!:#!见参考书目〔(〕&(#∃∋一(<一卜=>,∃·,0卜‘、了、∋尸、、产%#仁。又日⋯)+/是。二(‘&厂−.!1口∋。一毛。∗2巾3∀一!∀贾自!≅是!#!#≅,石#Α∋;?,,56。!见李考书燕!141%“”“”选波需耳集凡
3、是从开集和闭集经过有限回或可列回并与交的手续所产生的集,称为波霄耳集。二、四种收敛的定义、。,定义!依分布收敛1设氛!。1邑!。1灼分布函效分别为7!约及7!,1如展Β3。,∃2∋!.#2!.#则称福毛!。#/依分布收敛于乙!。#并记为毛∋!。#一一“七!。#一·+.Χ注意(定义中只要求72!.#圣在2!#的连续点上收敛·∃,,).2!.2!#和#都必须是分布函数这和分布函数弱收敛的定义不一样这是因为分。,∃布函数列福2!.#/弱收敛到函数2!.#而2!.#不一定是分布函数〔例〕取,工Δ1三>·,·2!,二.∋.债杏Ε,基2!#二>3.Φ∋Β,∋.,,+显然2
4、!#一一‘2!.#但2!.#不是分布函数由此还可以看出处处收敛即+···。3!。,一“!。,一。的随“3变量歹。“!。,“勺极限不一定是””3变,〔45是/∋Γ今卜=洲二3+∃‘∋这里指出毛!。#一一一鱿。#的充分条件是2武.#相应的特征函数列,Δ!Η#/收敏到,,。某函数Δ!Η#Δ!Η#在Η;>连续!因未学过特征函数证明从略#,)。对任意。ΦΕ有定义!依概率收敛#如果存在鱿#+··Ι。≅“!。,一“!。,,》一>恶7/&,∃则称随机变量列,七!,1#/依概率收敛于邑!。#并记为合!。#,七!。#。—,随机变量列,邑!。#/依概率收敛和数学分析中的函数列收敛有很大
5、的不同对毛∋!。#‘&。·+“!。#一“!。,一‘!见后面的例),一鱿司的情况可能会产生Η。345/一∋一申==定义!依概率收敛#如果存在鱿。#使+。。#Ι。!。#一+!#ϑ7345七/叫∋Γ,=洲二。,、则称7七!。#/以概率(收敛于毛!。#又称7氛!Ε#/儿乎处处收敛于鱿。#并记为。七!。#一‘气!。#。+。定理(成&。#一一一邑!#的必妥充分条件是对任意Φ>有、曰Λ5+。∀巾,&弓。百!Κ邑!一七!璧卜#∃∋一>!一∋贬?%,书、3。,证明先证必妥性如在定点。上有∋()。∃0的越2自则对任意−∃不等式今∀》,∗+2‘、4尹,(0氛∃。。至多只
6、能对有限个成立,/邑1。一屯。#毛.鑫故有∃百00之、声几‘、产2、已二,再由概率的连续性827∋0)&贬因组5∗/,0邑。一邑。选。卜卜∀喊〕∗96性六Μ∃>仁!,、」产Δ贬=&#Κ里#Ε一口自一∋(?∋,再证充分往白上式第一个等号及所给条件得‘七=,Ε=>、Μ口ΗΜ!(息、!。#一毛!。#Κ里。·≅?∋Π、345Λ百!/邑!01#一邑!。#Ν#卜;Ε(里∋ΝΟ今ΕΕ;Δ?Μ,飞,厂5、3的日一故&Ε5Μ由对偶原则拐、Μ厂3?!Κ+、!·#一+!·#∃,&>互告、ΛΘ由此及顶传知识
7、可知氛!。#一一‘邑!!∗#+。犷,Σ1定义8一一收阶敛#如果Ρ邑∋!#,Ρ#。犷,Σ冈其巾ΠΦΕ为常数又戮#。∋Ρ7+!。#一+、。#+。生二一Π。,。则称,七!01#/Π。#并记为邑!!1#‘邑!。一阶收敛于邑!一#,,,ΠΠ;在一阶收敛中最重要的是)的情形这时称为均方收敛有的书上作了深入讨论8#Ι+Τ王9!见参书目!#三、四种收效的关系、ΛΘ&定理)若氛!。。∋。。#一一一红#则邑!#一一,以、ΛΘ证明由之《。。#一一、以#知。、、。一七!。Ν;Ε
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