用格林公式计算任意闭曲线边界的均质薄平板的转动惯量.pdf

《用格林公式计算任意闭曲线边界的均质薄平板的转动惯量.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第32卷第11期大学物理Vol．32No．112013年11月COLLEGEPHYSICSNov．2013用格林公式计算任意闭曲线边界的均质薄平板的转动惯量李力(重庆清华中学，重庆400054)摘要:利用格林公式构造被积函数组，化二重积分为线积分，得到计算任意闭曲线边界的均质薄平板转动惯量的一般公式，并用该公式简捷地求出了教材上不常见的几种均质薄平板的转动惯量．关键词:格林公式;均质薄平板;转动惯量中图分类号:O313．3文献标识码:A文章编号:1000-0712(2013)11-0015-03转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，在刚体力学中有重要地位．

2、另外，由于定轴转动刚体的转动惯量与旋转带电体的磁矩之间具有类比关系，满足类似的平行轴定理、正交轴定理、中心矩定理及推广［1，2］的正交轴定理，因而转动惯量的计算可谓一举双得的工作．在各种大学教材上，一般只给出均质圆盘、圆柱、球体一类形状高度对称的简单刚体的转动惯量公式．一些研究者推出了任意三角形、四边形乃至任［3-5］意多边形均质薄平板的转动惯量公式．不难发现，这些研究侧重于利用相应特殊形状薄平板的几图1何特点，使用了不同的特殊方法和技巧．本文则寻找一个普遍的途径，从格林公式出发，推出计算任意闭曲线边界的均质薄平板转动惯量的一般公式，为均A=dxdy

3、=∮xdy=－∮ydx=DLL质薄平板转动惯量的计算提供一个具有一般性、有1时比通常解法更加简捷的方法．∮xdy－ydx2L就是在式(1)中令P=0，Q=x或者P=－y，Q=01从格林公式推导计算任意闭曲线边界的得到的．均质薄平板的转动惯量一般公式现在考虑面密度为σ的均质薄平板的转动惯如图1，设D是xy平面上封闭曲线L围成的闭量．设x轴、y轴在薄平板面内，z轴与该平面垂直，区域，且函数P(x，y)和Q(x，y)在D上有一阶连续于是绕x轴、y轴和z轴的转动惯量的计算公式分偏微商，则别为QP22∮(Pdx+Qdy)=(x－y)dxdy(1)Ix=

4、σydxdy，Iy=σxdxdy，LDDD［6］这就是多元微积分中的格林公式，它指出了曲线I=σ(x2+y2)dxdy=I+IzxyD积分和二重积分之间的深刻联系．这些都是二重积分．不妨把它们转化为绕薄平数学上常常根据式(1)把曲线积分转化为二重［6］板边界的曲线积分来计算．根据格林公式，构造函数积分计算．有时通过构造被积函数，把二重积分32组P=－y/3，Q=0或者P=0，Q=xy均可以计算化为曲线积分求解，典型的一个例子是平面封闭曲32［6］Ix，构造函数组P=0，Q=x/3或者P=－xy，Q=0线包围面积的计算公式收稿日期:2013－03－

5、11;修回日期:2013－04－23作者简介:李力(1972—)，男，重庆人，重庆清华中学特级教师．16大学物理第32卷2均可以计算Iy．显然，符合Q/x－P/y=y的函2数组并不只有前两组，符合Q/x－P/y=x的函数组也不只后两组，但无疑它们是最简单的函数组，这样做线积分运算时会更容易．于是，我们得到计算Ix，Iy的一般公式:32Ix=σ∮(－y/3)dx=σ∮xydy(2)LL32Iy=σ∮(x/3)dy=σ∮(－xy)dx(3)LL只要算出了Ix，Iy，由Iz=Ix+Iy可立即得到Iz，不必专门研究Iz．以下举教材上不常见的几个

6、例子图3阐述这种求薄平板转动惯量的一般方法．［7］2几个应用例子首先，求出或者查得此平板的面积为(4a/3)槡2pa，故质量为m=(4σa/3)槡2pa．由对称性只需例1求均质椭圆薄板对在薄板平面上的x研究第一象限区域上的二重积分，从而曲线积分的轴、y轴的转动惯量．边界L取为OABO，则如图2，设其边界方程为x=acost，y=bsint，03≤t≤2π．Ix=2σ∮(－y/3)dx=L由对称性，只须求第一象限内区域上的二重积3分，从而边界L取为OABO，由式(2)得(－2σ/3)(∫+∫+∫)ydx=OAABBO220Ix=4σ∮xydy=4σ(∫+

7、∫+∫)xydy=0+0+(－2σ/3)∫(2px)3/2dx=LOABOABaπ/22(4/15)σa(2pa)3/2=2mpa/5(4)0+0+4σ∫(acost)(bsint)d(bsint)=0π/2I=2σ(－x2y)dx=4σab3sin2tcos2tdt=πσab3/4=y∮∫L02－2++x2ydx=mb/4σ(∫∫∫)OAABBO020+0+(－2σ)∫x槡2pxdx=a32(4/7)σ槡2pa·a=3ma/7(5)2所以Iz=(2mpa/5)+(3ma/7)(6)由此例可发现，根据边界曲线的特点，灵活选择被积函数是很重要的，选得好可

8、以简化计算．比如此例中Ix的计算选式(2)中的前一个式子、Iy的计算选式(3)中的后一个式子，