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1、重庆与世界2011年第28卷第7期论文集粹TheWorld&ChongqingVol28No.72011利用格林公式计算积分李波(西南交通大学峨眉校区,四川峨眉山614202)摘要:格林公式表达了平面上沿闭曲线对坐标的曲线积分与区域D上二重积分之间的关系。介绍格林公式计算积分的常用方法,加深对格林公式运用的思考与理解。关键词:格林公式;封闭曲线;有向曲线中图分类号:O172.2文献标识码:A文章编号:1007-7111(2011)07-0092-03格林公式:设闭区域D由光滑(或分段光滑)的曲线L围成,函数Px,y及Qx,y在D上具有一阶连续偏导
2、数,则有公式QPLPdx+Qdy=x-ydxdy(其中L是D边界正向曲线。)D一、封闭曲线存在直接计算如果平面有向曲线L是封闭的,那么,直接运用格林公式计算。例1,计算曲线积分3ydx+xy3y2+y2=a2的顺时针方向。Lyx+e+xe-2ydy,其中L是圆周x解:经分析易知该曲线积分中有3y3yP3yQ3yPQPx,y=yx+e,Qx,y=xy+xe-2y,=x+e,=y+e,!xyxy利用格林公式把曲线积分化为二重积分,再利用二重积分的对称性计算其值。得=-Q-Pdxdy=y3-x3dxdy=y3dxdy-y3dxdy=0Lxy
3、DDDD二、构造封闭曲线再计算如果空间有向曲线L不是封闭的,那么需添加辅助的有向曲线L,使L与L构成定向的封闭曲线,再运用格林公式进00行计算。注:添补的辅助曲线L0的方向应选为与L的方向相一致。方向或者都是正方向,或者都是负方向。例2,计算xxL∀esiny+8ydx+ecosy-7xdy,其中L是从O0,0到A6,0的上半圆弧。xx解:经分析本题中Px,y=esiny+8y,Qx,y=ecosy-7x,都较繁,故构造辅助线:连接AO,方向从点A到点O,因PxQx=ecosy+8,=ecosy-7yxQP135则∀+==--dxdy=15dxdy=LA∀OL∀
4、+AOxy2DD收稿日期:2011-05-22作者简介:李波(1988),男,研究方向:微分方程、曲面积分。李波:利用格林公式计算积分930135而在AO上,y=0,dy=0,则∀=0dx=0,所以=AO∀6L∀23x=acost,例3,记Oxy平面上第一象限内星形线为L1:0#t#;直线段L2=x,yx=0,0#y#a,L3=y=asin3t,2x,yy=0,0#x#a,其中,常数a>0,试求L1,L2,L3围成的平面图形的面积与质心,其中,的边界闭曲线L为正向,面密度=1。解:显然,曲线L由L1,L2,L3构成,对平面图形的面积=dxdy,
5、应用格林公式把二重积分化为第二类曲线积分,得11=dxdy=xdy-ydx=xdy-ydx+xdy-ydx+xdy-ydx=2L2∀∀∀LLL123123333∀acostdasint-asintdacost+0+0=203222232232a∀sintcostdt=a∀1-cos4tdt=a2016032其中,显然有∀xdy-ydx=0,∀xdy-ydx=0。L2L311由于匀质平面图形关于直线y=x对称,故的质心x,y有x=xd=y=yd。同理,由格林公式得xd=1x2dy=12221x2dy=22∀xdy+∀xdy+∀xdy=2∀
6、LL1L2L3L13a32cos7tsin2tdt=3a32798a32∀02∀0cost-sintdt=105256所以,平面图形的质心x=y=a。315三、封闭曲线存在的特殊情形PQ如果所给的有向曲线是封闭的,但是不满足格林公式所要求的函数Px,y、Qx,y、,,在曲线L所包围的有界yx平面闭区域上连续的条件,那么,可以先把曲线L的方程代入该曲线积分,若后者曲线积分已满足格林公式条件,则用格林公式把它化为二重积分计算。1-ydx+xdy例4,计算曲线积分I=,其中曲线L是以点0,1为圆心,1为半径的圆周,取逆时针方向。∀x2+y-12L22解:经分析,有向
7、曲线L所围的平面区域:x,yx+y-1#1内含有不连续的点0,1,但注意到把曲线L的方程代入积分I后即消去了该不连续的奇点,再用格林公式得1-ydx+xdyI=∀x2+y-12=1-ydx+xdy=1+1d=2LL如果封闭平面曲线L的方程代入某曲线积分后。仍然在L所围的区域上存在某些点或子区域Px,y、Qx,y、PQPQ,不连续,而在的其他地方都连续,且=,则构造一条有规则的封闭曲线l0!,使其偏导数不连续的那些点yxyx或子区域包含在l所围的区域内,且曲
