均质椭圆柱面刚体转动惯量的计算

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1、第30卷第6期大学物理Vol．30No．62011年6月COLLEGEPHYSICSJune2011均质椭圆柱面刚体转动惯量的计算王永超，朱力(北华大学物理学院，吉林吉林132013)摘要:根据转动惯量的定义，运用计算转动惯量的质量投影法，计算了均质椭圆柱面刚体对转轴的转动惯量．关键词:质量投影;转动惯量;均质椭圆柱面刚体中图分类号:O313.3文献标识码:A文章编号:1000-0712(2011)06-0009-03转动惯量是反映刚体转动特性的重要物理量，转动惯量的计算一直受到人们的重视，已有不少文［1-6］献

2、对其作了研究．文献［1］利用质量投影法计算了六面体、圆台、椭圆盘对转轴的转动惯量;文献［2］、［3］给出了几种均质旋转面和旋转体的转动惯量;文献［4］给出了均质椭圆环刚体的转动惯量;文献［5］介绍了任意多边形匀质刚体板绕垂直板面质心轴的转动惯量的几何求法;文献［6］给出了任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式．但椭圆柱面刚体转动惯量的计算还很少见，本文利用文献［1］介绍的质量投影法，计算了均质椭圆柱面刚体对转轴的转动惯量．1质量投影法图1刚体在垂直转轴平面投影［7］2转动惯量的定义式I=Σrimi，其中ri为质

3、元mi到转轴的距离．由定义式可知，若保持刚体上各质元mi到转轴距离ri不变，则对该转轴的转动惯2均质椭圆柱面转动惯量的计算［1］量不变．利用这一特点给出质量投影法，即三维刚质量为m、长度为L的均质椭圆柱面如图2所体对转轴的转动惯量等于向垂直于转轴平面投影得示，椭圆柱面的横截面为长、短半轴分别为a、b的椭到的二维刚平面对转轴的转动惯量;二维刚平面对圆环，其参数方程为与该平面平行轴的转动惯量等于向垂直于转轴平面投影得到的一维线段对转轴的转动惯量．如图1所示，经过质量投影首先将三维刚体V转化为质量保持不变(质量分布可发

4、生变化)的二维刚平面S，再将二维刚平面S转化为质量保持不变的一维刚线段L．要计算三维刚体的转动惯量，只需计算二维平面和一维线的转动惯量即可．图2均质椭圆柱收稿日期:2010－10－14;修回日期:2010－11－10基金项目:吉林省教育厅资助项目(吉教科合字200690)作者简介:王永超(1966—)，男，吉林吉林人，北华大学物理学院教授，硕士，主要从事物理教学与研究工作．10大学物理第30卷x=acosφππ2222222ksinφcosφ{y=bsinφ(1)∫cos2φ槡1－ksinφdφ=∫22dφ00槡

5、1－ksinφ建立直角坐标系Oxyz，原点O位于椭圆柱面中心，(7)x、y轴分别与长轴、短轴重合，z轴沿轴线．下面计算将式(3)、(7)代入式(6)得椭圆柱面对x、y、z轴的转动惯量．π22222ksinφcosφ2.1均质椭圆柱面对x轴的转动惯量I'z=2σLab[E(k)+∫22dφ](8)0槡1－ksinφ利用质量投影法，将椭圆柱面向Oyz平面投影，式(6)又可改写为得到长为L，宽为2b的矩形平面，质量仍为m，但质π22222cosφ(1－ksinφ)量非均匀分布，其面密度为I'z=4σLab∫22dφ=0

6、槡1－ksinφ2222dl2σ槡asinφ+bcosφπ2π222σ'=2σ=(2)21－sinφ2ksinφcosφdybcosφ4σLab2∫dφ－∫dφ[01－k2sin201－k2sin2]槡φ槡φm式中σ=为均质椭圆柱面的面密度，(9)4aLE(k)π2dφ将第一类全椭圆积分F(k)=∫和关π01－k2sin22槡φ22E(k)=∫槡1－ksinφdφ(3)π202sinφF(k)－E(k)系式dφ=代入式∫222b20槡1－ksinφk为第二类全椭圆积分，其中k=1－2为椭圆偏心槡a(9)得π222

7、率，这样均质椭圆柱面对x轴的转动惯量转化为上2F(k)－E(k)2ksinφcosφIz'=4σLab[F(k)－2－∫22dφ]述矩形平面对x轴的转动惯量．计算矩形平面对xk0槡1－ksinφ轴转动惯量时，先将矩形平面向z轴投影，得到长为(10)L质量m均匀分布的细杆，细杆对y轴转动惯量即由式(8)、(10)得矩形平面对y轴转动惯量为1211F(k)I'z=mb[(1+2)－(2－1)](11)123kkE(k)I'y=mL(4)12利用投影得到的长为L、宽为2b的矩形平面对再将矩形平面向y轴投影，得到长为2b

8、质量非均匀x轴(长轴)的转动惯量，即均质椭圆柱面对x轴的分布的细杆，其线密度为转动惯量为2σLa2sin2φ+b2cos212121+11－1F(k)λ=σ'L=槡φ(5)Ix=I'y+I'z=12mL+3mb[(k2)－(k2)E(k)]bcosφ(12)长为2b的细杆对z轴转动惯量即矩形平面对z轴转2.2均质椭圆柱面对y轴的转动惯量动惯量为b利用质量投影法，将椭圆柱面