椭圆环刚体转动惯量的求解论文

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1、椭圆环刚体转动惯量的求解论文【摘要】运用转动惯量定义计算出椭圆环刚体绕长轴和短轴的转动惯量,然后用正交轴定理计算椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转动惯量。【关键词】椭圆环；转动惯量；椭圆积分；正交轴定理文献［1］是对圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴旋转的转动惯量进行了计算,那么椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴旋转的转动惯量是怎样的？1椭圆环绕长轴和短轴的转动惯量质量为m均匀分布的椭圆环刚体如图1，线质量密度为λ,现建立直角坐标系Oxyz,Oz轴垂直于椭圆环面指向外,由文献［2］知,其椭圆参数方程为x=acosθy=bsinθ图1（

2、略）令θ=π/2-φ.freel/dL=m/L=m/4aE(k)(3)1.1计算椭圆环绕长轴的转动惯量由转动惯量定义和如图1中P处质量元知,椭圆环绕长轴(Ox轴)的转动惯量Ix=y2dm=b2cos2φλdL=4λab2∫π/20cos2φ1-k2sin2φdφ=4λab2(4)∫π/201-sin2φ1-k2sin2φd(sinφ)=4λab2∫101-u21-k2u2du式(4)中令u=sinφ代入积分项,该项写为∫101-u21-k2u2du=∫10(1-u2)1-k2u21-u2du=∫101-k2u21-u2du-∫10u21-

3、k2u21-u2du=∫π/201-k2sin2φdφ+∫101-k2u2k(1-u2)=E(K)+［u1-k2u2·1-u2］10-∫10［1-u2(1-k2u2-k2u21-k2u2)］du(5)式(5)中第一项积分式为第二类全椭圆积分,整理中用了分部积分法,.freelb23k2［(k2+1)+(k2-1)F(k)E(k)］(8)1.2计算椭圆环绕短轴的转动惯量同理从图1中可计算出椭圆环绕短轴(Oy轴)的转动惯量Iy=x2dm=a2sim2φλdL=4λa3∫π/20sin2φ1-k2sin2φdφ(9)从式(4)和(7)可知∫π/

4、20cos2φ1-k2sin2φdφ=13k2［(k2+1)E(k)+(k2-1)F(k)］(10)那么∫π/20sin2φ1-k2sin2φdφ=∫π/201-k2sin2φdφ-∫π/20cos2φ1-k2sin2φdφ=13k2［(2k2+1)E(k)-(k2-1)F(k)］(11)把式(11)代入式(9)化简得Iy=ma23k2［(2k2+1)-(k2-1)F(k)E(k)］(12)式(12)为椭圆环绕短轴的转动惯量。2用垂直正交轴定理计算椭圆环绕中心轴的转动惯量根据文献［3］知垂直正交轴定理,椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转

5、动惯量为:Iz=Ix+Iy=mb23k2［(k2+1)+(k2-1)F(k)E(k)］+ma23k2［(2k2+1)-(k2-1)F(k)E(k)］(13)3结论①椭圆环刚体绕长轴的转动惯量为式(8);②椭圆环刚体绕短轴的转动惯量为式(12);③椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转动惯量为式(13)。【