资源描述：
《椭圆曲线加密算法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、椭圆曲线加密算法椭圆曲线密码学（英语：Ellipticcurvecryptography，缩写为ECC），一种建立公开密钥加密的算法，基于椭圆曲线数学。椭圆曲线在密码学中的使用是在1985年由NealKoblitz和VictorMiller分别独立提出的。ECC的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA加密算法——提供相当的或更高等级的安全。ECC的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于Weil对或是Tate对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。不过
2、一个缺点是加密和解密操作的实现比其他机制花费的时间长1.椭圆曲线在数学上，椭圆曲线（英语：Ellipticcurve，缩写为EC）为一代数曲线，被下列式子所定义?2=?3+??+?其是无奇点的；亦即，其图形没有尖点或自相交。满足此条件的ab满足：4?3+27?2≠0图1在基础上需要定义一个无穷远的点，将此点作为零点：此时椭圆曲线定义为：{(?,?)∈ℝ2
3、?2=?3+??+?,4?3+27?2≠0}∪{0}在椭圆曲线中的群的运算律：1.所有的点都在椭圆曲线上2.0点作为群上的单元点即?+0=?3.P点关于X
4、轴的对称点为P点的逆即?+(−P)=04.对于位于同一条直线上的三个点P,Q,R.则有P+Q+R=0图2P+Q+R=0（无限远点PQR三个点的位置是任意的，他们满足加法的结合律，因为这个群是一个阿贝尔群。2.椭圆曲线加法当P和Q不相等时(??≠??)由于是在阿贝尔群上可以将P+Q+R=0改写为P+Q=−R所以在椭圆曲线上的加法定义为PQ两点加法为P,Q两点连线与曲线的交点R的关于X轴对称点−R图2-3P+Q=-RPQ两点的直线的斜率为：??−???=??−??这条线与曲线的交点为：?=(??,??)?=?2
5、−?−??????=??+?(??−??)因此(??,??)+(??,??)=(??,−??)如果在图上表示即为上述的?+?=−?当P和Q不相等时(??=??)(??=−??)因为p+(−p)=0图3PQ两点相同时直线的斜率为3?2+???=2??经计算的3?2+???=2???=?2−?−??????=??+?(??−??)图43.椭圆曲线标量乘法通过上面的加法运算我们可以得出其标量乘法运算可以得出??=?+?+⋯+?⏟?times从上式可以看出当我们计算nP的时候需要做n次加法，如果n有k位那么的计算时
6、间复杂度变为O(2?),这显然不是快捷的方式。其中一种加快计算的方式是将这些加法运算的次数减少，我们将n写成2进制形式，然后我们按每位计算，每次复用上一次的结果如当n=151时，其二进制位100101112所以151=1⋅27+0⋅26+0⋅25+1⋅24+0⋅23+1⋅22+1⋅21+1⋅20=27+24+22+21+20所以如果运用在上面的标量乘法时，其运算可以简化为：151⋅?=27?+24?+22?+21?+20?4.离散空间椭圆曲线我们将曲线上的点全部局限于??上此时离散形式的椭圆曲线变为：{(?
7、,?)∈(?)2
8、?2≡?3+??+?(mod?),4?3+27?2≢0(mod?)}∪{0}?0仍然为无穷远点，a,b为整数图5?2≡?3−7?+10(mod?)p=19,97,127,487的图示在离散椭圆图上的加法和曲线上的加法的定义类似，在离散的椭圆曲线中，直线的方程变为??+??+?≡0(mod?)，点P，Q两点的加法的操作也是基于这个定义上下图展示了?2≡?3−?+3(mod127)曲线上?=(16,20)和?=(41,120)两点之间的加法直线?≡4?+83(mod127)在此空间上是一组距离
9、相等的平行线图65.离散椭圆曲线代数加法对照曲线上的加法，离散空间椭圆曲线加法公式可以写作?=(?2−?−?)?????????=[??+?(??−??)]????=[??+?(??−??)]????如果?≠?，此时的m的值的形式为?=(?−?)(?−?)−1????????如果P=Q时：?=(3?2+?)(2?)−1??????在离散型的椭圆空间里面我们知道点的数目是有限的，而这些点的个数我们称为椭圆曲线群的阶数同样的在离散空间，对于曲线上的点同样满足标量加法的法则??=?+?+⋯+?⏟?times但是在
10、离散空间椭圆曲线加法会有一个有趣的现象，对一个点进行有限次的加法，存在一个是n使得nP=P例如在曲线?2≡?3+2?+3(mod97)的一点P=(3,6),计算其的标量乘法，计算结果如下：图7可以看出P=(3,6)经过6次加法后又回到本身，也即是5P=0所以对于P的加法可以写作kP=(kmod5)P可以证明的是一个点的加法所构成的子集是一个循环的子集首先一个点的加法所得到的点一定是有限的，因为加法所获得的点全部都
