2015年上海市高中数学竞赛试卷(PDF版).pdf

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1、2015年上海市高中数学竞赛试卷2015年3月29日上午9：30～11：30【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．等差数列^an`中，对任意正整数n，都有aannn1458，则a．2015232．对整数nt3，记fn()log3log4logn，则ff(2)(2)23n110f(2)．3.有10个大小相同的小球，其中5个是红球，5个是白球．现将这10个球任意排成一排，并从左至右依次编号为1，2，…，10.则红球的编号数之和大于白球

2、的编号数之和的排法共有种．22224.在直角坐标平面xOy上，圆Oxy:1，圆Ox:(3)y4．过x轴1的左半轴上一点M作圆O的切线，与圆O相切于点A，与圆O分别相交于点1BC,，若ABBC，则点M的坐标为．S555.已知cos(TT)3(sincosT),T>S,S@，则T的取值范围4是．6.投掷两次骰子，设第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则使2得关于x的二次方程xaxb0有两个小于1的不相等实根的概率为．（用数字作答）7.已知集合2Ax^,,yxmymmN32,`，Bx^,,yxnya(1a

3、nnN),`，则使得ABz的整数a共有个．8.若实数xy,满足xx3132yy，则xy的最大值为．二、解答题9．（本题满分14分）在直角坐标平面xOy上，已知点AB,在双曲线22Cxxy:240上，且使得△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求所有这样的△OAB的个数．10．（本题满分14分）已知p为素数，n为正整数．非负整数aa,,,a均01n小于p，且满足°aaaa13,012n®2n°¯aapapap2015.012n求素数p．11．（本题满分16分）如图，已知△ABC的面积为1，过△A

4、BC内一点O分别引三条边的平行线DEFGHI,,，点DEFGHI,,,,,均在△ABC的边上，求六边形DGHEFI的面积的最小值．AGHDOEBCIF12．（本题满分16分）设n是正整数，数列Aaa:,,,a是由数0或1组12n成的数列，即a0或1(1ddkn)．k////（1）若nt3，由数列A定义另一个数列Aaa:,,,a，其中12n0,若aa,/kk11ak®kn1,2,,，¯1,若aaz，kk11这里aaaa,．01nn1/求使得aak1,1,2,,n的所有数列A．（本小题只需写出结果，不需kk解题过程）（2）

5、求使得aaa除以4余3的数列A的个数．12n2015年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．4000．2．54．3．126．4．(−4,0)．ª·3ππ§º15．−−ππ,,¸¨*．6．．«»¬¹44©¼127．10．8．9315+．二、解答题9．（本题满分14分）在直角坐标平面xOy上，已知点AB,在双曲线22Cxxy:2+−=40上，且使得△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求所有这样的△OAB的个数．1解设l:yk=≠xk(0)，则ly:=−x．由OAOBk

6、yk=x,®22¯24xxy+−=022得(24−+kxx)=0，2424所以20−≠k，x=，于是OA=+1k．………4分A22k−2k−214224k同理可得，OB=+1()=+1k．………6分1212kk2−()2−k因为△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA=OB，于是2244k11+=kk+，22kk−−2211k所以=±．22kk−−2211k322若=，则kkk−−+2210=，即(1kkk+−+)(31)0=，解得22kk−−22135−+35kk=−1,=,k=．………………10分123221k322

7、若=−，则kkk+−−2210=，即(1kkk−++)(31)0=，解得22kk−−221−−35−+35kk==1,,k=．………………12分45622因为kkkkkk⋅=⋅=⋅=−1，所以由k和k得到的两个三角形是相同的，14253614同样，由k和k得到的两个三角形是相同的，k和k得到的两个三角形也是相2536同的．综上所述，满足题意的△ABC共有3个．………………14分10．（本题满分14分）已知p为素数，n为正整数．非负整数aa,,,"a均01n小于p，且满足°aaa++++="a13,012n®2n°¯aapap+++

8、+="ap2015.012n求素数p．解由题设可得2nap（−+1)ap(−++1)"ap(−=1)2002，12n于是p−1是2002=×××271113的正约数．………………4分若p=2，则(aa"a)是2015的二进制表示，因为n102201