高中数学竞赛精华.pdf

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1、高中数学竞赛精华一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。半角公式1cossin221coscos221cos1cossintan21cossin1cos积化和差1sincossinsin21cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2和差化积sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2cos

2、cos22coscos2sinsin22万能公式2tansin221tan21tancos221tan2tantan221tan三倍角公式3sin33sin4sin4sin60sinsin601/103cos34cos3cos4cos60coscos60二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些156262234475626223441851472514三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化

3、积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。举个例子246求值：coscoscos7772提示：乘以2sin，化简后再除下去。722求值：cos10cos50sin40sin80来个复杂的ni2n1设为正整数，求证sini12n12n另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：为锐角，则sinxxtanx；还有就是正余弦的有界性。例求证：为锐角，<设xyz，且xyz，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小

4、值。122注：这个题目比较难数列关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然2/10我可写不完了。给递推式求通项公式()常见形式即一般求解方法注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。①apaqn1n若，则显然是以为首项，为公差的等差数列，qqq若≠，则两边同时加上，变为an1panp1p1p1q显然是以a1为首项，为公比的等比数列p1②apafn，其中()不是常数n1nn1若，则显然fi，≥i1an1anfn若≠，则两边同时除以，变形为n1nn1pppn1n1ana1fin1fi利用

5、叠加法易得ni1，从而anpa1ippi1pi1p注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。()不动点法当()时，的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。aanb典型例子：an1cand注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。axb2令x，即cxdaxb0，cx

6、d令此方程的两个根为，，若则有11pan1x1anx1其中可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。3/102c注：如果有能力，可以将的表达式记住，ad若≠则有an1x1anx1qan1x2anx2其中可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。acx1注：如果有能力，可以将的表达式记住，acx2()特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法。先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。①an2pan1qan特征方程为，令其两根为，nn则其通项公式为anAx1Bx2，、用待定系数法求得。②an3pan2qan1ran特征方程为，

7、令其三根为，，nnn则其通项公式为anAx1Bx2Cx3，、、用待定系数法求得。注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。()数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。()联系三角函数三角函

8、数是个很奇