上海市高中数学竞赛试卷及答案

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1、2005年上海市高中数学竞赛试卷（2005年3月27日星期日上午8：30～10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分）1．计算：95+2i．（表示虚数单位）2．设是某三角形的最大内角，且满足，则可能值构成的集合是．（用列举法表示）3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则表示的复数是．4．如图，正四面体的棱长为6，在棱、上各有一点、，若，，则线段的长为．5．若关于的方程至少有一个实根在区间内，则实数的取值范围为．6．、、、、是从集合中任取的5个元素（允许重复），则为奇数的

2、概率为．7．对任意实数、，函数满足，若，则对负整数，的表达式．8．实数、、满足，且，记为、、中最大者，则的最小值为．二、（本题满分14分）设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正数，使的定义域和值域相同．解：若a＝0，则对每个正数b，的定义域和值域都是，故a＝0满足条件　　若a＞0，则对每个正数b，的定义域D＝，但的值域A　　故D≠A，即a＞0不合条件　　若a＜0，则对每个正数b，的定义域D＝，　　由于此时，故的值域为　　所以，　　综合所述，a的值为0或－4三、（本题满分14分）已知双曲线（、）的半焦距为，且．是双曲线上任意两点，为的中点，当与的斜率、都存在时，求的值．解：∵M是P

3、Q的中点，设M（x0，y0），P（x0＋α，y0＋β－），Q（x0－α，y0－β）　　于是　　∵P、Q都在双曲线上，所以　　　　又由　　∴四、（本题满分16分）设表示不超过实数的最大整数．求集合的元素个数．解：由　　即当　　　　五、（本题满分16分）数列的通项公式为，．记，求所有的正整数，使得能被8整除．解：记　　　　注意到　　，可得因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而故当且仅当