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《上海市历届高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案(1980-2012)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边111111形ABCDEF，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是．222222aj32．已知正整数aa,,,La满足：>≤,1ij<≤10，则a的最小可能值是．121010a2i1743．若tanαβγ++=tantan，cotαβγ++=cotcot−，cotαcotβ+cotβcotγ+cotγcotα6517=−，则tan(α++=βγ)．54．已知关于x的方程l
2、g()kx=+2lg()x1仅有一个实数解，则实数k的取值范围是．5．如图，ΔAEF是边长为x的正方形ABCD的内接三角形，已知∠AEF=90°，AE==>aEF,,bab，则x=．mnn+1m6．方程23321⋅−+=3的非负整数解(mn,)=．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是．（用数字作答）21(n+)n20118．数列{a}定义如下：aaa===1,2,a−a,n=1,2,L.若a>+2，则正n12nn++21nmnn++222012整数m的最小值为．二、解答题DC9．
3、（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，ABx=，BC=1，对角线AC与BD的夹角∠=BOC45°，记直线AB与CD的距离为hx()．O求hx()的表达式，并写出x的取值范围．AB(sax+in)(4s+in)x10．（本题满分14分）给定实数a>1，求函数fx()=的最小值．1sin+x11．（本题满分16分）正实数x,,yz满足94xyzxyyzzx+++=；4求证：（1）xy++≥yzzx；（2）xyz++≥2．3n12．（本题满分16分）给定整数n(3)≥，记f()n为集合{1,2,L,2−1}的满足如下两个条件的子集A的n元素个数的最小值：①1,∈A21−∈A；
4、②A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求f(3)的值；（2）求证：f(100)108≤．12012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案931、2、923、114、(−∞,0)U{4}42a25、6、()(3,0,2,2)7、8、4025aab22+−()59．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2211222OB+=OC()AB+=+BC(x1)．①…………………（2分）22222在△OBC中，由余弦定理BCO=+−⋅BOCO2cBOCBos∠OC，22所以OB+OC−⋅2OBOC=1，②2x−1由①，②得OBOC⋅=．③…………………（5分
5、）2221x−1所以：SS==44⋅⋅∠OBOCBsinOC=2OBOC⋅=，ABCDΔOBC2222x−1x−1故：ABhx⋅()=，所以：hx()=．…………………（10分）22x2由③可得，x−>10，故x>1．222112x−因为OB+≥⋅OC2OBOC，结合②，③可得：(1x+≥⋅)2，222解得（结合x>1）12<≤+x1．2x−1综上所述，hx()=，12<≤+x1．…………………（14分）2x(ax++sin)(4sin)x3(a−1)10．解fx()==1sin+x++a+2．1sin++xx1sin73(a−1)当1<≤a时，03<−(1a)≤2，此时：fx(
6、)1sin=++x+a+223(1)≥−a+a+2，31sin+x且当sinxa=−3(1)1−(∈(−1,1])时不等式等号成立，故fx()23(1)=a−++a2．………（6分）min73(a−1)当a>时，3(a−>1)2，此时“耐克”函数yt=+在(0,3(a−1)⎤内是递减，3t⎦3(aa−+1)5(1)故此时fxf()==(1)2++a+2=．min22⎧723(1)aaa−++<≤2,1;⎪⎪3综上所述，fx()=⎨…………………（14分）min⎪5(a+1),.a>7⎪⎩2333xyy++zzx⎛⎞xyy++zzx23211．证（1）记t=，由平均不等式：xyz=
7、≤()()()()xyyzzx⎜⎟．3⎝⎠3…………………（4分）32于是49=xyz+++≤+xyyzzx93tt，2所以()323320ttt−+()+≥，224而332tt++>0，所以320t−≥，即t≥，从而xy+yz+≥zx．…………………（10分）3322（2）又因为：()x++≥yz3(xy++yzzx)，2所以()xyz++≥4，故xyz++≥2．…………………（16分）312．解（1）设集合A⊆{1,2,L,2−1}，且A满足（a），（b）．则1,∈A7∈A．
