2012上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案.doc

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1、2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．如图，正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是．2．已知正整数满足：，则的最小可能值是．3．若，，，则．4．已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是．5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，，则．6．方程的非负整数解．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相

2、同的概率是．（用数字作答）8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为．二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为．求的表达式，并写出x的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值．11．（本题满分16分）正实数满足；求证：（1）；（2）．12．（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：①；②A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求的值；（2）求证：．32012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案1、

3、2、923、114、5、6、7、8、40259．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得．①…………………（2分）在△OBC中，由余弦定理，所以，②由①，②得．③…………………（5分）所以：，故：，所以：．…………………（10分）由③可得，，故．因为，结合②，③可得：，解得（结合）．综上所述，，．…………………（14分）10．解．当时，，此时：，且当时不等式等号成立，故．………（6分）当时，，此时“耐克”函数在内是递减，故此时．综上所述，…………………（14分）11．证（1）记，由平均不等式：．…………………（4分）于是，所以，而，所以，即，从

4、而．…………………（10分）3（2）又因为：，所以，故．…………………（16分）12．解（1）设集合，且A满足（a），（b）．则．由于不满足（b），故．又都不满足（b），故．而集合满足（a），（b），所以．…………………（6分）（2）首先证明：．①事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为．令，由于，故．又，所以，集合，且B满足（a），（b）．从而：．…………………（10分）其次证明：．②事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为．令，由于，所以，且．而，，从而B满足（a），（b），于是：．…………………（14分）由①，②得．③反复利用②，

5、③可得．…………………（16分）3