2007年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷

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1、中国数学教育网http://www.mathedu.cninfo@mathedu.cn2007年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2007年3月25日星期日上午8：30—10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．方程的实数解_______________．2．有一条长度为的线段，其端点，在边长为的正方形的四边上滑动，当绕着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹的长是_______________．3．复数数列满足，（，为虚数单位），则它的前项的和为__

2、_____________．4．已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面和的距离分别为和，，分别是半平面，内的动点，则周长的最小值为_______________．5．已知平面直角坐标系中点与点的对应法则．若一段曲线在对应法则下对应椭圆的一段弧，则这段曲线的方程是________________．6．已知，计算：_______________．7．已知数列满足，，，则数列的通项公式_______________．8．已知圆：，过轴上的点存在圆的割线，使得，则点的横坐标的取值范围是_______________．第4页

3、http://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共4页中国数学教育网http://www.mathedu.cninfo@mathedu.cn一、解答题1．（本题满分14分）对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数，例如，满足的正整数对有，，三个，则．求出使得的所有正整数．2．（本题满分14分）已知关于的方程有三个正实根，求的最小值．第4页http://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共4页中国数学教育网http://www.mathedu.c

4、ninfo@mathedu.cn1．（本题满分16分）已知抛物线，是过焦点的弦，如果与轴所成的角为，求．第4页http://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共4页中国数学教育网http://www.mathedu.cninfo@mathedu.cn（本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数，在圆周上任取个点，，…，，则在个角中，至少有个不超过．第4页http://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共4页