2013年新知杯上海市高中数学竞赛

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1、中等数学2013年新知杯上海市高中数学竞赛中图分类号：c424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2014)05—0028—04【说明】解答本试卷不得使用计算器．二、解答题(共60分)一、填空题(第1～4小题每题7分，第5～89．(12分)正数数列{a}的前It项和为b，小题，每题8分，共60分)数列{b}的前It项积为c，且b+2c=11．若在区间[2，3]上，函数)=++C‘(∈z+)．求数列{}中最接近2013的数．LcnJ与g()=+在同一点取相同的最小值，则函l0．(12分)已知正数P及抛物线C：Y=数)在[2，3]上的最大值为一2

2、．若a、b、C、d为整数，且(p>0)，A(詈，0)为抛物线c对称轴上一点，0为alg2+big3+clg5+dig7=2013．抛物线C的顶点，为抛物线C上任意一点．求则有序数组(a，b，c，d)=一的最大道．3．已知函数Y=√(一2)+(一5)+√(一3)+．11．(18分)已知则该函数的最小值为——．k(ab+6c+ca)>5(a+b+C)．①4．已知线段+Y=9(I>0，y≥O)与Y轴、指(1)若存在正数a、b、C使不等式①成立，证数函数Y=a的图像、对数函数Y=log的图像、明：k>5；轴分别交于点A、、C、D，其中，a>0，a≠1．若中(2)存

3、在正数a、b、c使不等式①成立，且凡使间两点恰三等分线段AD，则a=不等式①成立的任意一组正数a、b、c均为某个三5．如图1，已知角形的三边长，求满足条件的整数k．212．(18分)如图2，已知棱长为1的正方体椭圆c：+Y=1和oD：+y2：1，ABCDEFGH，P为其八个顶在椭圆C内，且在o0外的区域内(包括边界)所点构成的集合．规定2n+1含圆的最大半径为——．(n∈Z+)个有序顶点组)，(Ao。⋯A：)满足点A。与A／，r、}、、重合，且对每个i∈{0，1，C＼、、／i⋯，2n一1}，A⋯与是集合P中的相邻顶点．图2图1(1)求顶点A所有可能的位置；

4、6．关于m、n的方程十一1一：的整数(2)若用Js表示A=C的所有2+1个有HtItmnq序顶点组(A。⋯A：)的个数，求．s．解(m，It)=一7．袋中有6只红球和8只白球，任意取五只参考答案球放人盒中，其余九只球放人B盒中．则A盒一1．15—4．中白球个数与日盒中红球个数之和不是素数的、概率为——(用数字作答)．~-,gt,N，g()=6>~24-6-，当=8．若在集合{11，21，⋯，1001}中删去一个元素后，余下元素的乘积恰为一个完全平方数，则删E[2,3]时，上式等号成立，即g(x)在=√时取去的这个元素为到最小值25．2014年第5期29于是

5、，由题意得由(／7,，n+1)=1=(n，／／,一1)，知n14．)=(一√6)+2,g．于是，n=±1，±2，±4．又3一>一2，则)在[2，3]上的最大经检验，只有当凡=2时，m为非零整数3．213值为3)=15-4．。1001‘2．(2013，0，2013，0)．设A盒中有白球n(0≤n≤5)个，则盒中有由题意得2。×3×5×7d=10o¨=220。×52013．红球5一n个；B盒中有白球8一n个，红球n+1由算术基本定理知个．于是，A盒中白球个数与B盒中红球个数之和(17,，b，c，d)=(2013，0，2013，0)．为2n+1，且1≤2+1≤1

6、1．3．．注意到，2+1为奇数，非素数只有1或9，即函数)，可视为抛物线Y=上的点P(，)，t=0或4．到点m(5，2)及N(O，3)的距离之和．故所求粹P==．由图像易知，当点P为线段MN与抛物线的‘．1UUl交点时，Y最小，此时，8．501．Yi=IMNI=26．记A=11×21×⋯·×1001．4。036或6．因为(2．1})!=(2k)·(2k一1)!，所以，显然，A(0，9)，D(9，0)．A=(11)x2×(31)x4×⋯×(991)×100当A=÷AD时，点(3，6)．=(11×31×⋯x991)(2x4×6×⋯×100)=(11×31×⋯x

7、991)(2)×501．于是，6=00=．于是，删去5o!后余下的元素之积恰为完当A曰=÷AD时，点B(6，3)．全平方数．于是，3=0口=．接下来证明：删去501是唯一的．一25。若还能删去k!，使得也为完全平方，则!要使所含圆的半径r最大，其圆心又在轴当50

8、2)·×5o由△=2500(r+1)一4800(r+1)=0501