2007年上海市高中数学竞赛试卷答案

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1、2007年上海市高中数学竞赛试卷（2007年3月25日星期日上午8：30~10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．方程的实数解___________________．2．有一条长度为1的线段，其端点在边长为3的正方形的四边上滑动，当EF绕着正方形的四边滑动一周时，EF的中点所形成的轨迹的长是_____________．3．复数数列满足，，则它的前2007项的和为______________．4．已知是大小为的二面角，为二面

2、角内一定点，且到半平面和的距离分别为和6，分别是半平面α，内的动点，则周长的最小值为_______________．5．已知平面直角坐标系中点与点的对应法则.若一段曲线在对应法则下对应椭圆的一段弧，则这段曲线的方程是___________________．6．已知，计算：___________________．{}x7．已知数列满足，则数列n的通项公式___________________．8．已知圆，过轴上的点存在⊙的割线，使得，则点的横坐标的取值范围是___________________．

3、二、解答题9．（本题满分14分）对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数，例如，满足的正整数对有三个，则求出使得的所有正整数．10．（本题满分14分）已知关于的方程有3个正实根，求的最小值．yA·xOFB11．（本题满分16分）已知抛物线，是过焦点的弦，如果与轴所成的角为，求．12．（本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数，在圆的圆周上任取个点，则在个角中，至少有2007个不超过．2007年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、

4、2、3、4、5、6、7、8、二、解答题111+=S(n)xyn()x,y9．（本题满分14分）对任意正整数n，用表示满足不定方程的正整数对的个111+=xy2(6,3),(4,4),(3,6)S(2)=3.S()n=2007数，例如，满足的正整数对有三个，则求出使得的所有正整数n．解由知令，，则S()n∴等于正整数对的个数，从而等于的正约数的个数.………………（3分）设，其中为不同质数，且则正约数个数为………（6分）令，则或，或或∴满足条件的或或或……（14分）（每个答案2分，共8分）3()2x

5、sinθ−sinθ+2x+6x−4=010．（本题满分14分）已知关于x的方程有3个正实根，求29sinθ−4sinθ+3u=()1−cosθ(2cosθ−6sinθ−3sin2θ+2)的最大值．解原方程为.因为原方程有三个正实根，所以关于的二次方程有两个正实根.……………………（3分）故∵……………………………………（6分）……（10分）当时，等号成立.……………………………………………………………………………（14分）2()y=2pxp>011．（本题满分16分）已知抛物线，AB是过焦点F的

6、弦，如果AB与x轴所成的角为，求∠AOB．AONFMxB解以F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则抛物线方程为（这里为级角）.作AM轴，其中M、N为垂足.于是…………………………………………………………（8分）又.…………………………（12分）于是.…………………………………………………………（16分）yAP·xOFQBθ【另解】当时，AB的方程可写为，即.这个结果对也成立.………………（4分）将它代入抛物线方程，得…………………………………………………………………（8分）过A、B分别作轴的垂

7、线AP、BQ.连AO、BO，则………………………………………………………（12分）…………………………（16分）A,A,⋅⋅⋅,A12．（本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数n，在圆O的圆周上任取n个点12n，2C∠AiOAj()1≤i≤j≤n120a则在n个角中，至少有2007个不超过A·BO解首先，当时，如图，设AB是⊙O的直径，在点A和B的附近分别取45个点.此时只有个角不超过120°,所以不满足题意.………………………………（4分）当时，下面证明至少有2007个角不超过.对圆周上的

8、91个点，若则连.这样就得到一个圆.设圆中条边，∵当时，∴圆G中没有三角形.a若l=0，则有个角不超过120，命题得证.……………………（8分）若l≥1，不妨设AB1B、AB2B之间有边相连，因为圆中没有三角形，所以对于点，它至多于AB1B、AB2B中的一个有边相连，所以，其中表示从A处引出的边数.∵,而对圆G中每一条边的两个顶点，都有.于是上式对每一条边求和可得………………………………………（12分）由柯西不等式，所以所以91个顶点中，至少有个点对，它们之间没有边相连，从而对应的顶点所对应的角