高等数学-曲率.pdf

《高等数学-曲率.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章第七节平面曲线的曲率曲线的弯与切线的转角有关曲程度与曲线的弧长有关MMM主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径目录上页下页返回结束一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长sAMs(x)yyf(x)BMsMMMMAyMxMMxx22MM(x)(y)OaxbxMMxxxMMy21()MMMMxlim1x0MMs2s(x)lim1(y)x0x目录上页下页返回结束2ds(dx)2(dy)2ds1(y)dx或xx

2、(t)若曲线由参数方程表示:yy(t)x表示对参数t的导数则弧长微分公式为dsx2y2dty几何意义:dsMTTMdydxdydxcos;sindsdsOxxdxx目录上页下页返回结束二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为s,对应切线转角为,定义弧段s上的平均曲率KMssM点M处的曲率dKlims0sds注意:直线上任意点处的曲率为0!目录上页下页返回结束例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,MsRs1RKlimMs0sR可见:R愈

3、小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.目录上页下页返回结束曲率K的计算公式dK设曲线弧yf(x)二阶可导,则由dsππtany(设)22得arctanyd(arctany)dx又y故曲率计算公式为K23(1y)2当y1时,有曲率近似计算公式Ky目录上页下页返回结束说明:xx(t)(1)若曲线由参数方程给出,则yy(t)xyxyK223(xy)2(2)若曲线方程为x(y),则xK23(1x)2yK23(1y)2目录上页下页返回

4、结束13例2.我国铁路常用立方抛物线yx作缓和曲线,6Rl其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,且l<

5、6RlR目录上页下页返回结束例3.求椭圆在何处曲率最大?解:xasint;xacostybcost;ybsint故曲率为xyxyabK223222232(xy)2(asintbcost)2222K最大f(t)asintbcost最小求驻点:2222ft()2asincostt2bcossintt(ab)sin2t目录上页下页返回结束π3π令f(t)0,得t0,,π,,2π22计算驻点处的函数值:π3πt0π2π22f(t)b2a2b2a2b2y设0ba,则t0,π,2π时bf(t)取最

6、小值,从而K取最大值.aOax这说明椭圆在点(a,0)处曲率b最大.2222K最大f(t)asintbcost最小22f(t)(ab)sin2t目录上页下页返回结束三、曲率圆与曲率半径yD(,)设M为曲线C上任一点,在点M处作曲线的切线和法线,在曲线TR的凹向一侧法线上取点D使CM(x,y)1DMROxK把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.目录上页下页返回结束设曲线方程为且求曲线上点M处的曲率半径及

7、曲率中心的坐标公式.设点M处的曲率圆方程为yD(,)故曲率半径公式为T23R1(1y)2CRM(x,y)KyOx,满足方程组222(x)(y)R(M(x,y)在曲率圆上)xy(DMMT)y目录上页下页返回结束yD(,)由此可得曲率中心公式2y(1y)TxRyCM(x,y)21yOxyy(注意y与y异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,相应的曲率中心的轨迹G称为曲线C的渐屈线,曲线C称为曲线G的渐伸线.,满足方程组曲率中心公式可看成渐(x)2(y)2R2(

8、M(x,y)在曲率圆上)