固体物理学第四章 能带理论课件.ppt

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1、第四章能带理论1.能带理论是固体物理学中一个主要内容。是研究固体中电子运动的一个主要理论。其定性地阐明了晶体中电子的普遍性特点，固体材料的导电性质等，并提供了根据材料的能带结构将材料分为导体、绝缘体和半导体的理论依据。2.能带理论是一个近似理论。单电子近似理论是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。这个等效的势场是由离子实的势场，其它价电子势场以及考虑电子波函数反对称性而带来交换作用势场组成平均场。3.固体是一个多粒子系统，其Hamilton量可以表示为：在此基础上进行所谓的单电子近似（近似的过程）。本章的主要内容：*布

2、洛赫定理*近自由电子近似模型*紧束缚近似模型---原子轨道线性组合法*晶体能带的对称性*电子的能态密度和费米面其它的内容（不讲解的内容）：*表面态*无序系统中的电子态采取绝热近似：因为离子实的质量远大于电子所以可以将原子实视为静止的，只考虑电子的运动，电子系统的Hamilton量为：§4.1布洛赫（Bloch）定理要解决的问题是：电子在周期性势场中的运动。求解电子状态，要解定态薛定谔方程：其中势能函数具有晶格周期性，即布洛赫定理则给出了周期势场中运动电子波函数的的一般特点。1．布洛赫定理晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面

3、波（振幅为周期函数）。以一维情况为例：（k,x）＝u（k，x）eikx其中u（k，x）＝u（k,x+la）晶体中的电子波又称为Bloch波。讨论：（1）电子出现的几率具有正晶格的周期性∣（k,x）∣2＝∣u（k，x）∣2∣（k,x＋la）∣2=∣u（k,x+la）∣2∵u（k，x）=u（k,x+la）∴∣（k,x）∣2=∣（k,x＋la）∣2物理解释：晶格具有周期性，因而在其中运动的电子也具有相同周期的的概率分布。（2）布洛赫定理的另一种表示（理解）。证明:∵（k,x）＝u（k，x）eikx，u（k，x）＝u（k,x+la

4、）所以：u（k，x+la）=u（k，x）＝（k,x）e-ikx(A)同时，u（k,x+la）=（k,x+la）e-ik(x+la)=[e-ikla（k,x+la）]e-ikx(B)比较（A）（B）二式，左右分别相等∴（k,x+la）＝（k,x）eikla物理意义：晶格中两个格点之间的波函数有一个振动的相位差两种表示实际上是等价的.三维情况的表示：1.2.(3）函数（k,x）本身并不具有正晶格的周期性。（k,x＋la）＝u（k，x+la）eik(x+la)=u（k，x+la）eikxeikla=u（k，x）eikxeikl

5、a=（k,x）eikla一般情况下∵k不是倒格矢eikla≠1∴（k,x＋na）≠（k,x）在这里还没有给出k的物理意义,实际上还只是一个参数做限制。后面的讨论将告诉我们k实际上是波矢量，可以表示电子的运动状态。2.Bloch定理的证明由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数展开（以一维情况来讨论）：说明：∴其中，倒格矢量:(2)将待求的波函数ψ（r）向动量本征态――平面波eik•x展开(2)求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢k’进行的。将（1）式和（2）式代入薛定谔方程得:(3)将此

6、式两边左乘e－ik.x,然后对整个晶体积分。并利用平面波的正交归一性得到（4）式利用δ函数的性质，得（4）式该方程实际上是：动量表象中的薛定谔方程k态与其相差不是一个倒格矢的态之间无耦合方程（4）说明，与k态系数C(k)的值有关的态是与k态相差任意倒格矢Gn的态的系数C(k－Gn)…….与k相差不是一个倒格矢的态不进入方程（4）。该结论也应适用于波函数(k,x)。因此波函数应当可写成与Bloch定理比较：（k,x）＝u（k，x）eikx需证明∵（正格矢与倒格矢之间的正交关系）一维情况：Rn=na,下面进行证明：于是布洛赫定理得证。

7、3．布洛赫定理的一些重要推论（1）k态和k＋Gh态是相同的状态，即：（A）[波函数和能量（B）均为k的周期函数】下面分别证明之。∵求和遍取所有允许的倒格矢。令则（∵求和也是遍取所有允许的倒格矢），即相差任意倒格矢的状态等价。由薛定谔方程证明，因为∴E（k）=E(k+Gn)可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子周期性，为了使波矢k和状态一一对应，通常限制k在第一B.Z.内变化。第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。等价!，所以（2）E（k）＝E（－k）即能带具有k=0的中心反演对称性。（3）E（k）具有与正晶格相同的对称性。补充：布洛赫定

8、理的对称性分析证明对称平移算符的性质:(1)算符之间的对易性若平移任意晶格矢量:有:晶体中单电子的哈密顿量为：（2）平移算符与系统哈密顿量对易所以有：由量子力学原理，对易算符之间存在共同的本征态，所以可以选择哈密顿量和平