卡尔曼滤波方程的推导.pdf

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1、1、随机线性离散系统的状态方程和观测方程为：Xk()(,kk1)(Xk1)Bkk(,1)(Uk1)(,kk1)(Wk1)式(1)Zk()HkXk()()Vk()nmr式中状态向量Xk()R，观测矢量Zk()R，随机过程噪声Wk()R，随mnn机观测噪声Vk()R，状态转移矩阵(,kk1)R，过程噪声输入矩阵nrmnnq(,kk1)R，观测矩阵Hk()R，Bkk(,1)R是作用在控制向量上的q控制输入模型(输入输出矩阵)，Uk(1)

2、R是控制向量。2、卡尔曼滤波器使用假设假设1：Wk()和Vk()是零均值或非零均值的白噪声或高斯白噪声，即：EWk[()]0或EWk[()]WTEWkW[()()]jQk()kj式（2）EVk[()]0或EVk[()]VTEVkV[()()]jRk()kj1(kj)其中，这里Qk()0是激励噪声的一个nn维的协kj0(kj)方差矩阵，Rk()0是观测噪声的一个mm维的协方差矩阵。假设2：Wk()和Vk()不相关或相关，即：TTEWkV[

3、()()]0j或EWkV[()()]S()jk式（3）kj假设3：X(0)是某种已知分布的随机向量，其均值和协方差已知，且与Wk()和Vk()均不相关，即：TEX[(0)],[((0)EX)((0)X)]P(0)X(0)X(0)X(0)式（4）TTEX[(0)W]0,[(0)EXV]0kk卡尔曼滤波器适用于线性高斯系统，即状态方程和测量方程是线性的，加性噪声是的高斯的。3、Kalman滤波估计的结构框图从Kalman滤波方程可以看出，递推计算过程分解到每一步，实际上是一种“一

4、步预测-修正”结构，如图所示。新息是新的观测值与单步预测值的差值。如果新息为零，那么就不需要进行修正。4、公式推导卡尔曼滤波器分为两个计算回路：滤波计算回路和增益计算回路。这两个回路之间的联系是增益计算回路每个循环都求出一个新的卡尔曼滤波器增益Kk()，然后滤波计算回路通过这个增益更新滤波估值。首先我们定义三个量：Xnmˆ()：代表已知m到n-1包括m时刻的观测在n时刻的估计值Xkkˆ()：已知k时刻以前时刻观测值，k时刻的状态估计值Pkk()：误差协方差矩阵，度量状态估计的精确程度定义：Xkkˆ(

5、1)(,kk1)(Xkˆ1k1)Bkk(,1)(Uk1)式（5）则误差协方差估计预测：Pkk(1)cov[()XkXkkˆ(1)]将式（1）和式（5）代入得：cov[(,kk1)(Xk1)Bkk(,1)(Uk1)(,kk1)(Wk1)(,kk1)(Xkˆ1k1)Bkk(,1)(Uk1)]cov(,kk1)[(Xk1)Xkˆ(1k1)](,kk1)(Wk1)根据协方差矩阵的性质得：(,kk1)cov[X(k

6、1)Xkˆ(1k1)]TT(,kk1)(,kk1)cov[(Wk1)](,kk1)由之前的定义得：TT(,kk1)(Pk1k1)(,kk1)(,kk1)(Qk1)(kk,1)式（6）定义新息或测量余差为：yk()Zk()HkXkk()(ˆ1)式（7）则新息的协方差为：Sk()cov(())yk将式（7）代入得：cov[()ZkHkXkk()(ˆ1)]代入式（1）得：cov[()()HkXkVk()HkXkk()(ˆ1)]THk

7、Pkk()(1)H()kRk()式（8）定义状态估计更新为：Xkkˆ()Xkkˆ(1)Kkyk()()式（9）后验误差协方差矩阵更新：Pkk()cov(()XkXkkˆ())将式（9）代入得：covXk()[(Xkkˆ1)Kkyk()()]将式（7）代入得：Zk()HkXkk()(ˆ1)=covXk()[(Xkkˆ1)KkZk()(()HkXkk()(ˆ1))]将式（1）代入得：=covXk()[(Xkkˆ1)KkHkXk()(()()Vk()

8、HkXkk()(ˆ1))]covXk()Xkkˆ(1)KkHkXk()[()()HkXkk()(ˆ1)]KkVk()()covXk()Xkkˆ(1)KkHkXk()()[()Xkkˆ(1)]KkVk()()cov[IKkHk()()][()XkXkkˆ(1)]KkVk()()(IKkHk()())cov[()XkXkkˆ(1)](IKkHk()())TKk()cov[()]VkKT()kTT(IKk