卡尔曼滤波介绍

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1、卡尔曼滤波一、卡尔曼滤波的起源谈到信号的分析与处理，就离不开滤波两个字。通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内，为了消除噪声，可以把FIR滤波器或者IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。但在许多应用场合，需要直接进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但其所依据的理论，即针对随机信号的估计理论，是自成体系的。人们对于随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个

2、明确解是维纳在1942年2月首先给出的。当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作，这项研究是用于防空火力控制系统的。维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳–霍夫方程。这种滤波理论所求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。从维纳–霍夫方程来看，维纳滤波算法是十分低效的。这种算法要求设置大量的存储器来保存过去的测量数据，一个新的数据到来后，要进行刷新，重新计算自相关和互相关序列。再者，求解这个方程需要耗费大量时间对高阶矩阵求逆。因此，维纳滤波算法难以运用于实时处理中，尤其是无法用于军事、航空航

3、天等领域。为此，许多科技工作者进行了多方探索，但在解决非平稳过程的滤波问题时，能给出的方法很少。到20世纪50年代中期，随着空间技术的发展，要求对卫星轨道进行精确地测量，这种方法越来越不能满足实际应用的需要。为此，人们将滤波问题以微分方程表示，提出了一系列适应空间技术应用的精炼算法。1960年和1961年，卡尔曼（R.E.Kalman）和布西（R.S.Bucy）提出了递推滤波算法，成功的将状态变量引入到滤波理论中来，用消息与干扰的状态空间模型代替了通常用来描述它们的协方差函数，将状态空间描述与离散数间刷新联系起来，适于计算机直接进行计算，而不是去寻求滤波器冲激响应的明确公式。这种方法得出的是表

4、征状态估计值及其均方误差的微分方程，给出的是递推算法。这就是著名的卡尔曼理论。卡尔曼滤波不要求保存过去的测量数据，当新的数据到来时，根据新的数据和前一时刻的储值的估计，借助于系统本身的状态转移方程，按照一套递推公式，即可算出新的估值。这一点说明卡尔曼滤波器属于IIR滤波器的范畴。这就是说，与维纳滤波器不同，卡尔曼滤波器能够利用先前的运算结果，再根据当前数据提供的最新消息，即可得到当前的估值。卡尔曼递推算法大大减少了滤波装置的存储量和计算量，并且突破了平稳随机过程的限制，使卡尔曼滤波器适用于对时变信号的实时处理。一、卡尔曼滤波的原理卡尔曼滤波的含义是现时刻的最佳估计为在前一时刻的最佳估计的基础上

5、根据现时刻的观测值作线性修正。卡尔曼滤波在数学上是一种线性最小方差统计估算方法，它是通过处理一系列带有误差的实际测量数据而得到物理参数的最佳估算。其实质要解决的问题是要寻找在最小均方误差下的估计值。它的特点是可以用递推的方法计算，其所需数据存储量较小，便于进行实时处理。具体来说，卡尔曼滤波就是要用预测方程和测量方程对系统状态进行估计。设动态系统的状态方程和测量方程分别为：上两式子中，是k时刻的系统状态，和是k-1时刻到k时刻的状态转移矩阵，是k时刻的测量值，是测量系统的参数，和分别表示过程和测量的噪声，他们被假设成高斯白噪声。如果被估计状态和观测量是满足上述第一式，系统过程噪声和观测噪声满足第

6、二式的假设，k时刻的观测的估计可按下述方程求解。进一步预测：(1)状态估计：(2)滤波增益矩阵：(3)一步预测误差方差阵：(4)估计误差方差阵：(5)上述就是卡尔曼滤波器的5条基本公式，只有给定初值和，根据k时刻的观测值，就可以递推计算得k时刻的状态估计（K=1，2，N）。一、卡尔曼滤波的发展自卡尔曼滤波提出以来，经过40多年的发展，卡尔曼滤波已经形成了一个比较完整的理论体系，并且成功应用于航空航天、工业控制等领域，美国空军还将卡尔曼滤波定为标准滤波器。但是,随着应用领域的不断扩大，滤波对象不确定性的不断提高，传统KF已经不能满足更高的要求，它的主要不足在于：(1)滤波限制条件比较苛刻，它要求

7、系统模型精确以及系统误差模型和观测误差模型已知，这在实际应用中是很难满足的，或者在系统工作过程中，模型发生变化，这些都导致传统KF的滤波发散或精度下降。(2)计算机字长的限制，这种情况可能导致计算过程中出现舍入误差，从而导致方差阵P(k

8、k)不对称引起滤波发散。(3)观测数据发生突变，由于传感器故障或外部条件发生改变，极有可能出现数据突变，即野值，这会对滤波器的收敛性产生严重影响，甚至导致发散，可