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1、4卡尔曼滤波器的设计与分析4.1系统模型设模型是一个标量系统⎧xk+1=xk⎨⎩zk=xk+vk式中，vk~()0,r，x0~(m0,P0)。设P0=1、r=10，x0=3，设计Kalman滤波器。4.2算法程序设计clear;randn('seed',0);%初始值x0=3;%初始状态xg0=0;%初始状态估值P0=1;%初始方差估值R=10;%测量噪声方差Q=0;%过程噪声方差%系统模型参数赋值A=1;%系统矩阵H=1;%测量矩阵G=0;%过程噪声驱动矩阵JG=zeros(1,6);JG(1,1)=0;%测量时刻JG(1,2)=x0;%状态真实值JG(1,3)=0
2、;%状态估计值JG(1,4)=0;%滤波器增益JG(1,5)=P0;%误差方差JG(1,6)=0;%测量值算数平均值num=0;temp=0;%滤波器递推算法fori=1:1999zk=x0+randn*sqrt(R);%真实测量值temp=temp+zk;%一步预测xg1=A*xg0;P1=A*P0*A'+G*Q*G';%测量修正K=P1*H'*inv(H*P1*H'+R);xg0=xg1+K*(zk-H*xg1);P0=(1-K*H)*P1;%存储滤波结果num=num+1;JG(i+1,1)=num;%测量时刻JG(i+1,2)=x0;%状态真实值JG(i+1,
3、3)=xg0;%状态估计值JG(i+1,4)=K;%滤波器增益JG(i+1,5)=P0;%误差方差JG(i+1,6)=temp/i;%测量值算数平均值end4.3仿真结果当k→∞时，滤波结果收敛于算术平均值。当k→∞时，Kk()→0。当k→∞时，Pk()→0。4.4初始参数取值对滤波器性能的影响（1）方差阵初始值的影响P0=1P0=10P0=1P0=10P0=1P0=10P0=1:时刻滤波值增益方差算术平均值0001.000001.00000.60760.09090.90916.68392.00000.97220.08330.83335.83313.00001.146
4、40.07690.76924.96794.00001.35820.07140.71434.7539P0=10：00010.000001.00003.34200.50005.00006.68392.00003.88870.33333.33335.83313.00003.72590.25002.50004.96794.00003.80310.20002.00004.7539（2）状态初始估计值的影响（P0=10）时刻滤波值增益方差算术平均值00010.000001.00003.34200.50005.00006.68392.00003.88870.33333.33335.
5、83313.00003.72590.25002.50004.96794.00003.80310.20002.00004.75390-3.0000010.000001.00001.84200.50005.00006.68392.00002.88870.33333.33335.83313.00002.97590.25002.50004.96794.00003.20310.20002.00004.75394.5影响Kalman滤波器性能的因素分析【例1】估计一个常值标量x，测量有白噪声，系统方程和测量方程如下：x()k+1=x(k)z()k+1=x()k+1+v()k+1式
6、中，x(k)、z(k+1)∈R;v()k+1∼N()0,r，x(0)∼N(m,P0)。求x的滤波结果，并分析测量噪声r的取值对滤波结果的影响。解：状态一步预测：xˆ(k+1k)=xˆ(k)预测方差：P(k+1k)(=Pk)P(k+1k)增益矩阵：K()k+1=P()k+1k+r状态最优估计：xˆ(k+1)=xˆ(k+1k)+K()k+1[]z()k+1−xˆ()k+1krP()k+1k修正方差：P()k+1=P()k+1k+rxˆ0、P0给定，有如下递推结果：当k=k时当k→∞时k+1mr+P0∑z()i1k+1()i=1xˆk+1=xˆ()k+1=∑z()ir+()
7、k+1P0k+1i=1rP0P()k+1=P(k+1)=0r+()k+1P0P0K()k+1=K(k+1)=0r+()k+1P0结论：（1）对常值的估值，随着测量次数增加，最后趋于算术平均值，而其估值方差等于零。（2）设r→∞，即测量噪声大到无法测量，则有xˆ()k+1=m=x0，P(k+1)=P0（3）设x0=m=0，P0→∞，即对未知量缺少先验知识，那么xˆ()k+1和P(k+1)给出最大似然估计P01K()k+1==()k+1P0+rk+1xˆ()k+1=xˆ(k)+K(k+1)[z(k+1)−xˆ(k)]1，且xˆ(0)=0=xˆ()k+[]
