一个解二维波动方程的差分格式.pdf

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1、第0卷第4期河南师范大学学报泊然科学版)Vol,20掩4ouaonaenoarnverauarneeee,199年11月JnrlHNmlUiiy(NlSi)NOV1992一个解二维波动方程的差分格式马明书(数学系),,摘要:本文给出了一个解二维波动方程的差分格式它是vonNeumann格式的变形其特点是每层计算量小,但又绝对稳定..:vNcuman格式;分离变量法;稳定性;误差方程关键词on:024-13分类号,,VonNcumann对一维波动方程所采用的格式是一个稳格式在每一个时间层上所求解的方程组的系数矩阵是三对角的,可用追赶法求解,因此其计算量较显式格

2、式增加不大。但对二维间题采用此种方法,则在每个时间层上需要求解的方程组其系数矩阵已不是三对角了,这给具体计算带来了新的困难,于是对高维问题构造每层计算量较小的绝对稳定格式一直是偏微分方程差分解法中的重要研究课题,本文给出了一个解二维波动方程的,,,n交替方向隐式格式它是VonNcuman格式的变形其特点是每层计算量小但又绝对稳定。为使问题讨论简单起见,我们考虑二维波动方程的最简模型问题:2材刁“,,了~xy

3、xo作网格线:丢文稿收到口期:1992一01一2飞I加河南师范戈羊羊报(自然科学闰I卯2年,,,,,y.khik~0l2一.月Lr下,J..,,,,一T,t二六j~O12.用一一复盖定解区域记..矛,ZJ,内占x]ju七U`u扮乙u一+一七一=.六一一十;一2j。_:一Zu。+Zu。+1占yuilk=u一;认:有解(l)的如下差分格式;*一.。2“Zj可叫+u汉-j.。.-1--一-2`.兰矿X“十二一一口工“`h,,

4、“2了一11一2“2J.I.u;`-一邝厂一口+甲了ox+yU(2)k一”一h-hj+1一夕一u`,。以,2一i,k~fk“Zj十1。’一一矿.口F“+,了dy少.2一时日.杯搜兀-丁h,,,.,。*。*这是一种三层格式根据定解条件:是已知的这样用格式(2)中的第一:,二*个方程解关于的具有三对角系数矩阵的方程组可求出中间值再用第二个方程解袱,夕的具有三对角系数矩阵的方程组可求得。*关于:再进行一次交替方向求解可3*,,。*·,.:::.女。此继续可求得所有的0摇(1得u`二其中为实参数且满足条件,j现在来估计(2)的逼近阶若ul,记’kuuTujll.!h

5、(t)=(￡士)=。ikǔ:则(2)有等价形式可r)一Zu(t)+u(r一下)一:;’。二’[可z)+。(t一:)]+(l一2:);ZoxZ。(t)+(l一2:),’。少2。(t)(3){。(t+:)一可t)一:rZ占夕’[。(t+:)+。(t一:)1消去(3)中的中间值试O有u(t+下)一Zu(t)+u(r一下)一:rZ占少’u(r+:)+:r’占少’u(t一T)+:r’占x’“(t+:)一:’r`占x’占,’。(r+:)一:’r`占x’占,’。(r一T)+(l一2:)r’占x’u(t)+占r’占x’u(t一:)+(l一2:)r’占,’。(t)此即一`·’

6、〔·“+”+““一”,卫业坚黔坐示+`·’·`!,+`,’u[`,+·,+·`·,,+`,’·`,,卜铲户铲第4期马明书:一个解二维波动方程的差分格式11122以T占xZ占夕2[一。(t+:)二u(r一:)]一.-,二一(4),h,onn,若不计(4)的最后一项它恰为二维情形标准的VNcuman格式从而它是逼,.近给定的微分方程的其截断误差阶为。(:2+hZ):一1)O.下面用分离变量法证明格式(2)当4时是绝对稳定(即无条件稳定)的,将(4)中的u(z)换为。(t)即得误差方程:。(r+T)一2。(t)+。(t一:)一:rZ占x’压(t+:)+。(t一:)

7、1+(l一2:)r’占x,:(t)+:,’占夕2卜(t+:)+。(t一r)-+(l一2:)r,占,,。(t)+aZr`占x,妙,r一。(z+T)一。(l一r)r(5)令:(t)一,7sin,袱`s’ln;二少*,代人(5)并注意到xZs夕二x`一sin刀:xs”xi+s”x`十-咨in卜2’ln尸认刀一.2了p北h一”一斗浑`np兀x`s`n戈万)占夕Zsin穿二夕k一sin叮二少卜Zsin叮二夕。+sin口“夕*+-一,_,___,____2q/动、,占`月`占`月-=一q兀y飞下一l.、`/经化简整理后可得,’1+4二’·`·’+·,·’()+`6·’

8、r`·`·’·`·’〔((粤)零)(粤)(鲁)〕一2