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1、Ch2.5单调性与凸凹性2．5函数的单调性与曲线的凹凸性我们用一阶导数判断函数的单调性，二阶导数讨论曲线的凹凸性2.5.1函数单调性的判别法关于函数的单调性，下面我们来看一个图形，问题:(如上例图所示），函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.关键的是我们要找出函数定义域区间内的那些分界点来，就可以得到划分出来的区间、然后可以得到函数的单调区间.接下来我们分两个问题来讨论函数的这些特性定理2.4设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，
2、(1)若当x(a,b)时，f(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增；(2)若当x(a,b)时，f(x)<0，则f(x)在(a,b)内单调递减.关于单调性的判别法定理作如下几何解释:以上定理，若导数仅在个别点处为0，定理结论仍然成立确定某个函数的单调性的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求出使f(x)=0和f(x)不存在的点，并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；(3)确定f(x)在各个子区间内的符号，从而判定出f(x)的单调性.补充例1求函数f(x)=x3-3x的单调区间．解(1)该
3、函数的定义区间为(,)；(2)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f(x)=0，得x=-1，x=1，它们将定义区间分为三个子区间：(,-1)，(-1,1)，(1,)；注意在解题书写语句上不能犯下列错误：(3)因为当x(,-1)时，f(x)>0，x(1,1)时，f(x)<0，x(1,+)时f(x)>0，所以(,-1)和(1,)是f(x)的递增区间，(-1,1)是f(x)的递减区间.为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：x(,-1)(-1,1)(
4、1,)f(x)-f(x)其中箭头，分别分表示函数在指定区间递增和递减.请注意阅读P39书上的例题1例1求函数的单调区间．亦可如例1那样，以表格形式来表现f(x)的单调性：补充例题2：讨论函数解：函数的定义域为的单调性所以函数的单调区间：亦可如例1那样，以下表表示f(x)的单调性：补充例3.讨论f(x)=x36x2+9x3的单调性.解:f'(x)=3x212x+9以x1=1,x2=3为界将f(x)的定义域(,+)分成三个部分区间(,1),(1,3),(3,+).当x<1时:f(x)>0,当1
5、3时:f(x)>0,=3(x1)(x3)所以f(x)单调增加;所以f(x)单调减少;所以f(x)单调增加.10331yx故f(x)在(,1)(3,+)内单调增加，在(1,3)内单调减少.注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,书上例2.讨论的单调性.解：函数的定义域为故在整个定义域内单调增加如图所示，凡呈凸形的弧段，当自变量x由x1增大到x2时，其上的切线斜率是递减的(如图(a)左，(b)左)，凡呈凹形的弧段，当x由x1增大到x2时，其上的切线斜率是递增的
6、(如图(a)右，(b)右)，我们将以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性.x1x3x4x2OyABCDx2.5.2曲线的凹凸性与拐点xyOABDCx1x3x4x2(a)(b)定义1设函数y=f(x)在某区间I内可导，①如果f(x)在I内是递增的，则称曲线y=f(x)在区间I内是凹的，I区间称为凹区间；②如果f(x)在I内是递减的，则称曲线y=f(x)在区间I内是凸的，I区间称为凸区间.定义2设函数y=f(x)在区间I内连续，则y=f(x)在区间I内的凹凸分界点，叫做曲线y=f(x)的拐点.定理2.5设函数y=f(x
7、)在区间I内的二阶导数f(x)>0，则曲线y=f(x)在区间I内是凹的；若f(x)<0，则在此区间I内曲线y=f(x)是凸的.若f(x0)=0，且在x0两侧f(x)变号，则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.若在x0两侧f(x)不变号，不是拐点.说明：求拐点可先求出二阶导数为零或二阶导数不存在的点例3求曲线的拐点与凹凸区间.解函数的定义域为(,).因为令y=0得x=0.当x(,0)时，y>0，此区间是凹区间；当x(0,+)时，y<0，此区间是凸区间.拐点为(0,2)补充例4
8、讨论曲线f(x)=x3-6x2+9x+1的凹凸区间与拐点．解定义域为(,).因为f(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x-12=6(x-2)，令f(x)=0，可得x=2.当x(,2)时，f(x)<0，此区间是凸区间．当x(2,+)时，f(x)>0，此区间是凹区间．当x=2时，f(x)=0，因f(
