统计学与矩阵代数回顾课件.ppt

《统计学与矩阵代数回顾课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、附录一统计学与矩阵代数回顾本章内容梗概能够灵活掌握概率论、数理统计与矩阵代数的相关知识，是理解金融计量学理论的基础，同时也是熟练运用金融计量方法的重要前提。概率与统计相关知识随机变量如果一个随机变量只能取特定的值，则称为离散变量。比如抛100次硬币正面朝上的次数。如果一个随机变量可以取某一实数区间中的任意值，则称为连续变量。例如某校冬季供暖每小时能源消耗量。通常都用大写字母表示随机变量（如X或Y），用小写字母表示其具体结果（如x或y）。概率分布函数与概率密度函数概率分布函数（用F(x)表示）概率密度函数（用函数f(x)表示）分布函数，密度函数决定随机变量X在指定区间取值的

2、概率。概率与统计相关知识图中表示a和b之间的阴影部分，是指该分布取a至b之间的概率标准正态分布期望μ=0，方差的正态分布称为，其密度函数为：概率与统计相关知识随机变量的矩(moments)从统计学角度来说，一个随机变量X的第n阶矩可以定义为:其中,表示X的均值,代表期望。常用n阶矩示例：一阶矩被称为均值或期望值，经常使用来表示，它度量了随机分布的中央位置。二阶矩被称为方差，经常用来表示，它衡量了X的变化幅度。方差的平方根称为标准差，用表示。均值和方差被广泛地用来刻画各种随机分布尤其是正态分布的特性。概率与统计相关知识三阶矩被称为偏度，度量了随机变量分布的非对称程度。如果偏

3、度统计量为正值，说明X的分布具有右侧长尾特征，而负的偏度表明左侧长尾特征。四阶矩又称尾峰度，其衡量随机变量分布的尖峰程度或平坦程度。偏度和峰度统计量来检验随机变量是否服从正态分布。示例：Jarque-Bera正态分布检验，其检验统计量定义为其中，N代表样本大小，S表示偏度，K表示峰度，k代表解释变量个数，原假设是待检验随机变量为正态分布。概率与统计相关知识期望和方差在实践中运用最为广泛，二者具有下列性质：假设A为常数，和为均值为0的随机变量，则有更多的时候，我们需要利用样本均值和方差估计随机变量的矩。其中，T表示随机变量的样本观察值个数概率与统计相关知识联合概率一对随机变

4、量的概率函数称为联合概率分布。为简单起见，以离散随机变量为例讨论。设X或Y为离散随机变量，设x和y为其所取值。X=x且Y=y的概率就称为X和Y的联合概率函数，用表示，则。因为概率函数通常用f(·)表示，所以用下标XY来确认讨论中的随机变量为X和Y的联合。统计独立性如果随机变量X和Y具有统计独立性，此时联合概率为单个概率的乘积。对于连续随机变量：对于离散随机变量：P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)概率与统计相关知识条件概率给定某一随机变量X已发生的条件下另一特定随机变量Y发生的概率，称之为条件概率。符号“

5、”代表给定。条件概率密度函数定义如下（同时适用于离散随机

6、变量和连续随机变量）：其中，为X和Y联合概率，为X的密度函数，通常称为X的边际密度。需要注意的是，条件概率依赖于x和y。当两个随机变量为独立统计时，条件概率分布变为相应的边际分布。概率与统计相关知识条件期望与条件方差条件期望给定X的情况下，Y的期望值即为Y对X的条件期望值。以离散随机变量为例，条件期望可表示为：，即以条件密度作为权重的Y的期望。条件方差假设为Y对X的条件期望，即E(Y

7、X)，则Y对X的条件方差定义为，即在X值给定的前提下，求Y对X的条件期望以及条件密度为权重求该均值的方差。概率与统计相关知识条件期望与条件方差的性质概率与统计相关知识协方差和相关系数函数该函

8、数的期望值称为X和Y的协方差，用或Cov(X,Y)表示。因此随机变量X和Y的协方差定义为：对协方差进行“标准化”，即可得到X和Y间的相关系数，用表示。X和Y之间的相关系数定义为：独立的两个变量一定不相关，但不相关的两个变量不见得独立概率与统计相关知识协方差与相关系数的性质如果a、b为常量，则相关系数的取值介于-1到1之间如果X和Y相互独立，则；即X和Y不相关。从以上和(1)可以得出，在这种情况下，Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)且Var(X-Y)=Var(X)-Var(Y)如果，且则；即在单位比例改变的情况下，相关系数保持恒定。如果，则。但当时，。这说明在一般

9、线性变换情况下，相关系数为变量（不为零）概率与统计相关知识多元分布设为n个随机变量，其联合概率密度函数为。如果联合概率密度函数等于单个概率密度函数的乘积，则其相互独立：。概率与统计相关知识多元分布的性质：线性组合的期望为期望的线性组合。如果为常量，则。若干独立同分布随机变量均值的期望等于他们的共同期望。，其中，为常量。如果相互独立，则在的情况下，。独立随机变量的和的方差为所有方差的和。特别地，当方差相同时，对于每个i，都有，所以。如果，则有。如果相互独立，并服从，则它们的均值服从正态分布，均值为，方差为。概率与统计相关知识随机