矩阵位移法课件.ppt

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1、第6章矩阵位移法§6-1概述§6-2单元刚度方程§6-3坐标转换问题§6-4整体分析§6-5元素的速算方法§6-6主程序框图及算例§6-7结论与讨论1.概述结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。单元：两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为单元。编码：黑的结点编号称整体码。红的1、2局限于单元，称局部码。坐标：兰的坐标称整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标1342xy121122yx右手系①②③将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做下面称为离散化的工作对于如下所示的结构，离散化时需先做以下的工作2.单元刚度方程基本

2、原理：在弹性小变形条件下，叠加原理成立。已有知识：转角位移方程、单跨梁形常数和载常数。目的：像位移法一样，通过“一拆、一合”来解决结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。利用叠加原理单元刚度方程平面拉压-(桁架)单元EE连续梁单元利用叠加原理单元刚度方程刚度矩阵等效结点荷载矩阵不考虑轴向变形的平面梁柱单元q(x)根据形、载常数，利用叠加原理可得梁柱单元的单元刚度方程为单元刚度矩阵(应熟记)是转角位移方程的矩阵表示单元杆端位移矩阵单元等效结点荷载矩阵向上满跨均布荷载q作用逆时针满跨均布力偶m作用根据单跨梁的载常数，可得计轴向变形的平面自由式梁柱单元单元刚度矩阵可根据叠加原理得到拉压梁

3、柱这一结果对应的杆端位移矩阵如何？单元等效结点荷载可同理叠加得到补充单元刚度矩阵的性质根据反力互等定理，单元刚度矩阵一定是对称矩阵。除连续梁单元刚度矩阵外，其它三种单元刚度矩阵是奇异的。解释一：从数学上看，因为存在相关的行、列，所以对应的行列式为零，矩阵不可逆。解释二：从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法由平衡的外荷唯一地确定位移。刚度矩阵元素kij的物理意义为：单元仅发生第个j杆端单位位移时，在第个i杆端位移对应的约束上所需施加的杆端力。3.坐标转换问题在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单元拼装回去。在结点处位

4、移自动满足协调条件的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位移的方程，这是下一节将讨论的内容。除连续梁外，一般结构单元不全同方位，为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁单元的转换问题。力的转换位移的转换将局部量向整体量方向投影，可得将整体量向局部量方向投影，可得第三、六两个量不存在转换问题。如果记结点位移坐标转换矩阵为单元杆端位移坐标转换矩阵为因此位移力刚度方程的转换力转换刚度方程位移转换如果记整体坐标单元刚度矩阵为则整体坐标单元刚度方程为局部坐标连续梁单元需要进行坐标转换吗？连续梁的局部坐标与整体坐标一致，

5、所以不需要转换。桁架单元如何进行坐标转换？力的转换位移的转换第一种做法第二种做法位移扩展为刚度矩阵改为转换矩阵局部坐标与整体坐标成900时，局部单刚和整体单刚间有何关系？局部坐标单元刚度矩阵整体坐标单元刚度矩阵To474.整体分析以图示简例来说明图中有两套编号，红的是单元杆端编号，黑的是结构整体编号。4-1)结点示意121221①②③图中蓝色的表示结点荷载（已知），红色的表示杆端力（未知的），、分别①、②单元杆端力子矩阵。对1、4结点“荷载”含有未知反力。24-2)结点平衡由示意图可见，结构结点的平衡方程为121221①②③2134若记2134则平衡方程为式中(I)、0分别为单位和

6、零矩阵。若引入矩阵记号则结点平衡方程可改写作这一结论虽然是由一个例子得到的，但是显然对一切结构都是成立的。问题在于不同结构，(A)矩阵是不同的。①②③4-3)杆端位移用结点位移来表示121221①②③仍以上述简单例子来说明若记由结点、杆端位移的协调条件，可得()、()的对应关系为式中(A)T是前面力关系(A)的转置，因此(A)T称为位移转换矩阵。4-4)整体刚度方程——结点平衡121221①②③若记引入位移转换关系，则这就是整体刚度方程，它的物理实质是结点平衡。(K)称作结构刚度矩阵（或整体刚度矩阵），(P)称作综合等效结点荷载矩阵，它由两部分组成:Pd直接结点荷载矩阵由结点荷

7、载组成PE等效结点荷载矩阵由单元荷载组成综合等效结点荷载矩阵整体(总体)刚度矩阵整体(总体)刚度方程单元个数③②①4-5)整体刚度矩阵的建立121221①②③若将(A)按单元分成图示三个子矩阵则121221①②③由此可见，整体刚度矩阵可由各单元整体刚度矩阵装配累加得到。为说明如何装配，先将单元刚度矩阵进行分割整体结点码则由矩阵乘法可证明，(A)I(k)I(A)iT的结果是，将刚度矩阵子矩阵按整体结点码r、s送整体刚度矩阵相应位置。这一装配规则称为“对号入座”。整体结点