理论力学习题课件.ppt

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1、3.1半径为的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为，试证棒的全长为：证：设棒长为，质量为，其受力分析如图所示，据平衡方程得：⑴(2)(3)(1)(2)(3)式联立得：所以证毕。3.3两根均质棒AB、BC，在B处刚性连结在一起，且形成一直角，如将此棒的A端用绳系于固定点O上（如图所示），则当棒平衡时，AB棒和竖直直线所成的角满足下列关系：，其中a、b为棒AB和BC的长度，试证明之。解：设均质棒线密度为，依平衡方程得：(1)(2)两式联立得：所以：证毕。⑴(2)3.5一均质的梯子，一端置于摩擦系数为1/2的地板

2、上，另一端斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上，一个人的体重为梯子的三倍，爬到梯子的顶端时，梯子尚未开始滑动，则梯子与地面的倾角，最小当为若干？解：建立直角坐标系，设人爬到梯子顶端时梯子与地面倾角为，受力分析如图所示，平衡方程为：以上五式联立得：⑴(2)(3)(4)(5)3.8半径为R的非均匀圆球在距中心r处的密度可以用下式表示：解：绕直径的转动惯量：式中及都是常数，试求此圆球绕直径转动时的回转半径。圆球的质量：绕直径转动时的回转半径为：3.9立方体绕其对角线转动时的回转半径为:证：设立方体的边长为a，取立方体的中心为坐标原点，坐标轴平行于棱边，则为惯量主轴。试证明之。

3、式中d为对角线的长度。对角线方向余弦为：对角线长：则：回转半径为：3.10一均匀圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为，已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多少时间后盘将静止？解：取如图所示的圆环，其所受摩擦力矩为：圆盘所受摩擦力矩为：圆盘转动惯量为：由刚体定轴转动方程得：3.12矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕其竖直轴AB以初角速度转动，此时薄片每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k，问经过多少时间后薄片的角速度减为初角速度的一半？解：如图所示，在均质薄片上

4、取一宽为的长条做微元，微元到转轴距离为，则微元受空气阻力距为：薄片受空气阻力距为：薄片绕竖直轴的转动惯量：由定轴转动动力学方程得：3．13一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线中心并与弧面垂直的轴线摆动，求其作微振动的周期。解：设弧的线密度为，由对称性知，质心C在ox轴上，则：对通过O点的竖直轴的转动惯量：转动方程为：微振动故振动周期为：3．14试求复摆悬点上的反作用力在水平方向的投影Rx与竖直方向的投影Ry，设此摆的重量为mg，对转动轴的回转半径为k，转动轴到摆中心的距离为a，且摆无初速地自离平衡位置为一已知角处下降。复摆运动过程中，只有保守力做功，机械能守恒：

5、解：去掉约束以约束反力来代替，设轴承对复摆的约束反力在水平方向、竖直方向的投影为，则有动力学方程：复摆质心坐标：将（3）（6）代入（4）（5）得：将（7）（8）代入（1）（2）得：故复摆悬点上的反作用力为：3．15一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一直线滚动，求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？解：如图建立坐标系以o为基点，P点的速度为：在最低点：，因无滑动，，该点相对地面的速度为零，即：，此点为转动瞬心。在最高点：所以：以o为基点，P点的加速度为：3.18一圆盘以匀速度v0沿一直线无滑动地滚动，杆AB以铰链固结于盘

6、的边缘上的B点，其A端则沿上述直线滑动。求A点的速度与盘的转角的关系，设杆长为l，盘的半径为r.解：如图建立坐标系B对O点的矢径：以圆心O为基点，B点的速度为：B对A点的矢径：比较（1）（2）两式得：以A为基点，B点的速度为：（3）由图知：圆盘只滚不滑：（5）（4）（3）（4）（5）式联立得：3.19长为2a的均质棒AB，以铰链悬挂于A点上，如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几圈？解：如图所示，建立直角坐标系，棒由水平到竖直，只

7、保守力作功，机械能守恒。OCaaAB所以：为常量于是：铰链松脱后，棒只受重力作用，由质心运动定理得：利用初始条件：对⑴⑵式积分两次得：(3)(4)两式消去得：—质心运动轨迹（抛物线）当棒下降时，，则：（——棒下降时间）棒一共转的圈数为：3.20质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体质心的加速度a1，物体的加速度a2及绳中张力T.解：取隔离体，受力分析如图所示。圆柱体作平面平行运动，物体m作平动，动力学方程为：圆柱体只滚不滑:以上五

8、式联立得：