北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测（数学理）.doc

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1、北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B

2、）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点位于(A)第一象限　（B）第二象限　（C）第三象限　（D）第四象限（3）下列命题中正确的是（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行（B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左)视图的面积为

3、（A）　（B）（C）（D）（5）在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）（6）如图所示，点是函数的图象的最高点，，是该图象与轴的交点，若，则的值为（A）（B）（C）（D）（7）对于函数，有如下三个命题：①是偶函数；②在区间上是减函数，在区间上是增函数；③在区间上是增函数．其中正确命题的序号是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③（8）已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（A）（B）（C）（

4、D）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知，那么的值为　．（10）若非零向量，满足，则与的夹角为．（11）已知函数那么的值为．yxAFOB（12）在等差数列中，若，，则数列的公差等于；其前项和的最大值为．（13）如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是.(14)已知不等式≤，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知△中

5、，角，，的对边分别为，，，且，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求△的面积．（16）（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）证明：≤．（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，使平面；（Ⅲ）若平面，平面平面，求二面角的大小．（18）（本小题共13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求的取值范围．（19）（本小题共13分）已知

6、椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．（20）(本小题共14分)已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；（Ⅲ）对任意，且

7、，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）A（3）D（4）C（5）D（6）B（7）A（8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）57（13）（14）≥注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，整理得．………………2分因为，所以.故，解得.……………4分由，且，得.由，即，解得.

8、………………7分（Ⅱ）因为，又，所以，解得.………………10分由此得，故△为直角三角形，，．其面积．………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）设的公差为，因为所以解得或（舍），．故，．……………6分（Ⅱ）因为，所以．………9分故．………11分因为≥，所以≤，于是≤，所以≤．即≤．……………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）连接．因为四边形为菱形，，所以△为正三角形．又为中点，所以．因为,为的中点，所以．又，所以平面．………………4分（Ⅱ）当时，