2019年高考数学练习题汇总(七)计数原理.pdf

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1、(七)计数原理1．已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)为实常数．10求：(1)∑an的值；n＝110(2)∑nan的值．n＝1解　(1)在(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10中，令x＝－1，得a0＝1.令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32.10所以∑an＝a1＋a2＋…＋a10＝31.n＝1(2)等式(x2＋2x

2、＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10两边对x求导，得5(x2＋2x＋2)4·(2x＋2)＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋9a9(x＋1)8＋10a10(x＋1)9.在5(x2＋2x＋2)4·(2x＋2)＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋9a9(x＋1)8＋10a10(x＋1)9中，10令x＝0，整理得∑nan＝a1＋2a2＋…＋9a9＋10a10＝5·25＝160.n＝12．设等差数列{an}的首项为1，公差为d(d∈N*)，m为数列{an}中的项．1(1)若d＝

3、3，试判断(x＋m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；x)1(2)证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，(x＋m的展开式中均不含常数项．x)(1)解　因为{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝3n－2.1假设(x＋m的展开式中第r＋1项为常数项(r∈N)，x)31mr3T＝Cmrxm－rr＝Crx2，于是m－r＝0.r＋1(mx)23设m＝3n－2(n∈N*)，则有3n－2＝r，24即r＝2n－，这与r∈N矛盾．31所以假设不成立，即(x＋m的展开式中不含常数项．x)(2)证明　由题设知an＝1＋

4、(n－1)d，设m＝1＋(n－1)d，1由(1)知，要使对于每一个m，(x＋m的展开式中均不含常数项，x)32d2必须有：对于n∈N*，满足1＋(n－1)d－r＝0的r无自然数解，即r＝(n－1)＋∉N.2332d22当d＝3k(k∈N*)时，r＝(n－1)＋＝2k(n－1)＋∉N.3331故存在无穷多个d，满足对每一个m，(x＋m的展开式中均不含常数项．x)3．已知f(x)＝(2＋x)n，其中n∈N*.(1)若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；(2)当x＝3时，求证：f(x)必可表示成＋ss－1(s∈N*

5、)的形式．rr(1)解　因为Tr＋1＝C2nrn－rx2，当＝3时，r＝6，2故x3项的系数为C26nn－6＝14，解得n＝7.(2)证明　由二项式定理可知，(2＋3)n＝C20nn(3)0＋C21nn－1(3)1＋C22nn－2(3)2＋…＋C2n0(3)n，设(2＋3)n＝p＋3q＝p2＋3q2，p，q∈N*，而若有(2＋3)n＝a＋b，a，b∈N*，则(2－3)n＝a－b，a，b∈N*.∵(a＋b)·(a－b)＝(2＋3)n·(2－3)n＝1，∴a－b＝1，令a＝s，s∈N*，得b＝s－1，∴(2＋3)n必

6、可表示成＋ss－1的形式，其中s∈N*.4．设n∈N*，n≥3，k∈N*.(1)求值：①kCnk－nCnk－1；②k2Cnk－n(n－1)Cnk－2－nCnk－1(k≥2)；(2)化简：12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2Cnk＋…＋(n＋1)2C.nn！n－1！解　(1)①kCnk－nCnk－1＝k×－n×k！n－k！k－1！n－k！n！n！＝－＝0.k－1！n－k！k－1！n－k！②k2Cnk－n(n－1)Cnk－2－nCnk－1n！n－2！n－1！＝k

7、2×－n(n－1)×－n×k！n－k！k－2！n－k！k－1！n－k！n！n！n！＝k×－－k－1！n－k！k－2！n－k！k－1！n－k！n！k1＝(－1－＝0.k－2！n－k！k－1k－1)(2)由(1)可知当k≥2时，(k＋1)2Cnk＝(k2＋2k＋1)Cnk＝k2Cnk＋2kCnk＋Cnk＝[n(n－1)Cnk－2＋nCnk－1]＋2nCnk－1＋Cnk＝n(n－1)Cnk－2＋3nCnk－1＋C.nk故12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1

8、)2Cnk＋…＋(n＋1)2Cn＝(12C0n＋22C)1n＋n(n－1)(Cn－02＋Cn－12＋…＋Cn－2)＋3n(Cn－11＋Cn－21＋…＋Cn－1)＋(C2n＋C3n＋…＋C)n＝(1＋4n)＋n(n－1)2n－2＋3n(2n－1－1)＋(2n－1－n)＝2n－2(n2＋5n＋4)．