备战高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：集合思想的运用 .pdf

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1、集合思想的运用典型例题：例1.（2012年江苏省10分）设集合P{1，2，…，n}，nN*．记f(n)为同时满足下列条件的集合An的个数：①AP；②若xA，则2xA；③若xCA，则2xCA。npnpn（1）求f(4)；（2）求f(n)的解析式（用表示）．n【答案】解：（1）当n=4时，符合条件的集合A为：2，1,4，2,3，1,3,4，∴f(4)=4。(2）任取偶数xP，将除以x2，若商仍为偶数．再除以2，···经过k次以后．商必nk为奇数．此时记商为m。于是x=m2，其中m为奇数kN

2、*。由条件知．若mA则xAk为偶数；若mA，则xAk为奇数。于是是否属于xA，由m是否属于A确定。设Q是P中所有奇数的集合．因此f(n)等于Q的子集个数。nnnnn1当为偶数〔n或奇数）时，P中奇数的个数是（）。n22n22n为偶数∴f(n)=。n122n为奇数【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】（1）找出n=4时，符合条件的集合个数即可。（2）由题设，根据计数原理进行求解。例2.（2012年上海市理18分）对于数集X{1,x1,x2,,xn}，其中0x1x2xn

3、，n2，定义向量集Y{a

4、a(s,t),sX,tX}.若对于任意a1Y，存在a2Y，使得a1a20，则称X具有性质P.例如X{1,1,2}具有性质P.（1）若＞x2，且{1,1,2,x}，求的x值；（4分）[来源:Z&xx&k.Com]（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2q（q为常数），求有穷数列x1,x2,,xn的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取a1(x,2)，则Y中与a

5、1垂直的元素必有形式(1,b)。∴x=2b，从而x=4。（2）证明：取a1(x1,x1)Y，设a2(s,t)Y满足a1a20。由(st)x0得st0，∴、异号。st1∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－st1，另一为1。故1X。假设x1，其中1kn，则0x1x。[来源:学科网ZXXK]k1n选取a1(x1,xn)Y，并设a2(s,t)Y满足a1a20，即sx1txn0。则、异号，从而、之中恰有一个为－stst1。若s=

6、－1，则xtxtx，矛盾；1n1若t=－1，则xsxsx，矛盾.n1n∴x1=1。i1（3）猜测xq，i=1,2,…,n。i记Ak{1,1,x2,,xk}，k=2,3,…,n。先证明：若Ak1具有性质P，则Ak也具有性质P。任取a1(s,t)，、stAk.当、中出现－st1时，显然有a2满足a1a20。当s1且t1时，、st≥1。∵Ak1具有性质P，∴有a2(s1,t1)，s1、t1Ak1，使得a1a20。从而s和中有一个是－t

7、1，不妨设s=－1，111假设t1Ak1且t1Ak，则t1xk1。由(s,t)(1,xk1)0，得stxk1xk1，与sAk矛盾。∴t1Ak，从而Ak也具有性质P。i1现用数学归纳法证明：xq，i=1,2,…,n。i当n=2时，结论显然成立。i1假设nk时，Ak{1,1,x2,,xk}有性质P，则xiq，i=1,2,…,k；则当nk+1时，若Ak1{1,1,x2,,xk,xk1}有性质P，则Ak{1,1,x2,,xk}k1也有性质P，所以Ak1{1,

8、1,q,,q,xk1}。取a1(xk1,q)，并设a2(s,t)满足a1a20，即xk1sqt0。由此可得与中有且只有一个为－st1。q若t1，则s1，所以xk1q，这不可能；sk1kk1k∴s1，xqtqqq，又xq，所以xq。k1k1k1i1i1综上所述，xqxq，i=1,2,…,n。ii【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。（3）根据题

9、设，先用反证法证明：若Ak1具有性质P，则Ak也具有性质P，再用数学归纳法证i1明猜测xq，i=1,2,…,n。i例3.（2012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于A∈S(m，n)，记Ri(A