高考数学二轮专题训练:专题五 第3讲 立体几何中的向量方法.pdf

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1、第3讲 立体几何中的向量方法考情解读 1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体,考查空间中平行与垂直的证明,常出现在解答题的第(1)问中,考查空间想象能力,推理论证能力及计算能力,属低中档问题.2.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体,考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算,是高考的必考内容,属中档题.3.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题,考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力,是近几年高考命题的新亮点,属中高档问题.1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α、β的法向量分别为μ=(a2,b

2、2,c2),v=(a3,b3,c3)(以下相同).(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α、β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同).(1)线线夹角π

3、设l,m的夹角为θ(0≤θ≤),则2

4、a·b

5、

6、a1a2+b1b2+c1c2

7、cosθ==.

8、a

9、

10、b

11、a21+b21+c21a2+b2+c2(2)线面夹角π设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤),2

12、a·μ

13、则sinθ==

14、cos〈a,μ〉

15、.

16、a

17、

18、μ

19、(3)面面夹角设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π),

20、μ·v

21、则

22、cosθ

23、==

24、cos〈μ,v〉

25、.

26、μ

27、

28、v

29、提醒 求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分析.3.求空间距离直线到平面的距离,两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离,点P到平面α的距离:d→

30、PM·n

31、=(其中n为α的法向量,M为α内任一点).

32、

33、n

34、热点一 利用向量证明平行与垂直例1 如图,在直三棱柱ADE—BCF中,面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直,M为AB的中点,O为DF的中点.运用向量方法证明:(1)OM∥平面BCF;(2)平面MDF⊥平面EFCD.思维启迪 从A点出发的三条直线AB、AD,AE两两垂直,可建立空间直角坐标系.证明 方法一 由题意,得AB,AD,AE两两垂直,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),1111F(1,0,1),M,0,0,O,,.(2)(222)→11→(1)OM=0,-,-,BA=(-1,0,

35、0),(22)→→→→∴OM·BA=0,∴OM⊥BA.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱,→∴AB⊥平面BCF,∴BA是平面BCF的一个法向量,且OM⊄平面BCF,∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).→→1→∵DF=(1,-1,1),DM=,-1,0,DC=(1,0,0),(2)→→由n1·DF=n1·DM=0,得Error!解得Error!11令x1=1,则n1=1,,-.(22)同理可得n2=(0,1,1).∵n1·n2=0,∴平面MDF⊥平面EFCD.→→→→1→→1→方法二 (1)OM=OF+FB+

36、BM=DF-BF+BA221→→→1→1→1→1→=(DB+BF)-BF+BA=-BD-BF+BA222221→→1→1→=-(BC+BA)-BF+BA2221→1→=-BC-BF.22→→→∴向量OM与向量BF,BC共面,又OM⊄平面BCF,∴OM∥平面BCF.(2)由题意知,BF,BC,BA两两垂直,→→→→→∵CD=BA,FC=BC-BF,→→1→1→→∴OM·CD=-BC-BF·BA=0,(22)→→1→1→→→OM·FC=-BC-BF·(BC-BF)(22)1→1→=-BC2+BF2=0.22∴OM⊥CD,OM⊥FC,又CD∩FC=C,∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF,∴平

37、面MDF⊥平面EFCD.→思维升华 (1)要证明线面平行,只需证明向量OM与平面BCF的法向量垂直;另一个思路则→→→是根据共面向量定理证明向量OM与BF,BC共面.(2)要证明面面垂直,只要证明这两个平面的法向量互相垂直;也可根据面面垂直的判定定理证明直线OM垂直于平面EFCD,即证OM→→→垂直于平面EFCD内的两条相交直线,从而转化为证明向量OM与向量FC、CD垂直. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA

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