高考数学二轮专题训练：专题五 第3讲 立体几何中的向量方法.pdf

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1、第3讲　立体几何中的向量方法考情解读　1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题.2.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档题.3.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b

2、2，c2)，v＝(a3，b3，c3)(以下相同)．(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角π

3、设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则2

4、a·b

5、

6、a1a2＋b1b2＋c1c2

7、cosθ＝＝.

8、a

9、

10、b

11、a21＋b21＋c21a2＋b2＋c2(2)线面夹角π设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，2

12、a·μ

13、则sinθ＝＝

14、cos〈a，μ〉

15、.

16、a

17、

18、μ

19、(3)面面夹角设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π)，

20、μ·v

21、则

22、cosθ

23、＝＝

24、cos〈μ，v〉

25、.

26、μ

27、

28、v

29、提醒　求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到平面α的距离：d→

30、PM·n

31、＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点).

32、

33、n

34、热点一　利用向量证明平行与垂直例1　如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.思维启迪　从A点出发的三条直线AB、AD，AE两两垂直，可建立空间直角坐标系．证明　方法一　由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，1111F(1,0,1)，M，0，0，O，，.(2)(222)→11→(1)OM＝0，－，－，BA＝(－1,0,

35、0)，(22)→→→→∴OM·BA＝0,∴OM⊥BA.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，→∴AB⊥平面BCF，∴BA是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．→→1→∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，－1，0，DC＝(1,0,0)，(2)→→由n1·DF＝n1·DM＝0，得Error!解得Error!11令x1＝1，则n1＝1，，－.(22)同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.→→→→1→→1→方法二　(1)OM＝OF＋FB＋

36、BM＝DF－BF＋BA221→→→1→1→1→1→＝(DB＋BF)－BF＋BA＝－BD－BF＋BA222221→→1→1→＝－(BC＋BA)－BF＋BA2221→1→＝－BC－BF.22→→→∴向量OM与向量BF，BC共面，又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，→→→→→∵CD＝BA，FC＝BC－BF，→→1→1→→∴OM·CD＝－BC－BF·BA＝0，(22)→→1→1→→→OM·FC＝－BC－BF·(BC－BF)(22)1→1→＝－BC2＋BF2＝0.22∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平

37、面MDF⊥平面EFCD.→思维升华　(1)要证明线面平行，只需证明向量OM与平面BCF的法向量垂直；另一个思路则→→→是根据共面向量定理证明向量OM与BF，BC共面．(2)要证明面面垂直，只要证明这两个平面的法向量互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线OM垂直于平面EFCD，即证OM→→→垂直于平面EFCD内的两条相交直线，从而转化为证明向量OM与向量FC、CD垂直．　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA