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《2018年高考数学二轮复习考前专题五立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向量方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第3讲立体几何中的向量方法「考情考向分析1以空间几何体为载体考查空I'可角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角朋标系和准确计算上.热点分类突破热点一利用向量证明平行与垂直设直线/的方向向量为日=3,b,0),平面a,0的法向量分别为JJ=(炭,bz,Q),v=(白3,bi,Ci),则有：(1)线面平行1//a^a丄〃=00^1况+5厶+c92=0.(2)线面垂直1_a0a〃R0a=kP0a=k脸,b=kb”C—kc?..(3)面面平行a//B0ii//fOn=Xv^&i=久金，b>=A&,c
2、-2=人(4)面面垂直a丄00"丄gP•7=00日2日3+厶厶+6*203=0.例1如图，在直三棱柱力必」％F中，面力他和面力磁都是正方形且互相垂直，点掰为〃〃的中点，点0为M的中点.运用向量方法证明：药/=(o,卅,^=(-1,0,0),⑴0”〃平面BCF；⑵平面•肋F丄平面EFCD.证明方法一(1)由题意，得個AD,两两垂直，以点力为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1,则水0,0,0),〃(i,o,o),rd,1,0),〃(o,1,0),・••药/•励=0,・・・页口_场.•・•棱柱初—好是直三棱柱,:.ABV平面BCF,：•应是平面"6F的一个法向量,且0,旳平
3、面BCF,:.如〃平面BCF.(2)设平面.肋尸与平面加G9的一个法向量分别为・・•亦=(1,-1,1),-i,oj,辰(1,0,0),芜(0,1,1),rh刀］•DF=Sn•DM=0,k—p+zi=0,得—“一扌)同理可得屁=(0,1,1).・・5・灶=0,・・・平面J府'丄平面EFCD.方法二(1)af=~0F+為+~BM=^)F~~BF+^BA=1(竟+丽一亦+扬=二丽一占丽+扬・•・向量药/与向量廉旋共面，又创丸平面BCF,:.0”〃平面BCF.(2)由题意知，BF,BC,胡两两垂直,'：~CD=~BA,FC=~BC~~BF,・••埶・鬲=0,沏.FC==-拇+*赤=0.
4、：・0肚CD,0肚FC,又CDCFC=C,CD,FCU平血EFCD,:.0MA_平面EFCD.又OMU平而W；•••平面MDFL平面EFCD.思维升华用向量知识证明立体儿何问题，仍然离不开立体儿何中的定理.如要证明线而平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a//b.只需证明向量2=久方(XWR)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.跟踪演练1如图，在底面是矩形的四棱锥宀肋少屮，刃丄底面点E,F分别是PC,刃的中点，PA=AB=,BC=2.(1)求证：肪7/平面必必(2)求证：平面/专
5、〃丄平面/伙：证明(1)以点M为原点，力〃所在直线为/轴，/〃所在直线为y轴，/户所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则J(0,0,0),Ml,0,0),C(l,2,0),〃(0,2,0),AO,0,1).•:点、E,尸分别是PC,勿的中点,0,0J,乔=(1,0,0).~EF=屁,:.EF//ABf即EF//AB.又MU平面刊〃，洌平面刃“,:.EF//平面PAB.(2)由⑴可知，励=(1,0,-1),场=(0,2,-1),AP=(Of0,1),Ab=(0,2,0),庞=(1,0,0),・••乔・~DC=(0,0,1)・(1,0,0)=0,乔・~DC=(0,2,0)・(1
6、,0,0)=0,:.~APXJdC,~ADXJdC,即/IP丄DC,ADIDC.又APnAD=A,AP,/L9U平面刊〃，DCA_平面PAD.、：DCU平面PDC,・・・平面/%〃丄平面PDC.热点二利用空间向量求空间角B的法向量分设直线/,刃的方向向量分别为a=h,o）,b=（az,A,ci）.平面a别为〃=（念,bi,q）,v=（ai,b,g）（以下相同）.（1）线线夹角设/,刃的夹角为〃（0W则cosqa*b叩2+Sb?+cxc2(~ab—后；舁+苫屁+/；+；（2）线面夹角设直线/与平面a的夹角为〃（0W则sincos〈0P)（3）二面角设a—a-P的平面角为〃（OW〃
7、Wn）,则Icoscos例2在三棱柱ABC—AAG中，初丄平面BCCB、ZBCC=±,AB=BC=2,棱C'G上，且CD=4rG（0<4^1）.建立如图所示的空间直角坐标系.⑴当人=*时，求异面直线/1B与力"的夹角的余弦值;（2）若二面角A-B^D-A^的平面角为才，求4的值.解⑴易知*0,0,2）,$（0,4,0）,A（0,4,2）.1JI当人=罗寸，因为BC=CD=2,乙BCC=〒所以C（书,-1,0）,〃（萌，1,0）.所以AB=（0,4
