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《2018年高考数学二轮复习 考前专题五 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法讲学案 理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 立体几何中的向量方法以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.热点一 利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
2、(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.例1 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明 方法一 (1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1
3、,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.＝，＝(－1,0,0)，∴·＝0,∴⊥.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，由 得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.方法二 (1)＝＋＋＝
4、－＋＝(＋)－＋＝－－＋＝－(＋)－＋＝－－.∴向量与向量，共面，又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，∵＝，＝－，∴·＝·＝0，·＝·(－)＝－2＋2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，CD，FC⊂平面EFCD，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.思维升华 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证
5、明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．跟踪演练1 如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明 (1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，
6、P(0,0,1)．∵点E，F分别是PC，PD的中点，∴E，F，＝，＝(1,0,0)．∵＝－，∴∥，即EF∥AB，又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)由(1)可知，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，∵·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.热
7、点二 利用空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝＝
8、cos〈a，μ〉
9、.(3)二面角设α—a—β的平面角为θ(0≤θ≤π)，则
10、cosθ
11、＝＝
12、cos〈μ，v〉
13、.例2 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1＝，AB＝BC＝2,BB1
14、＝4，点D在棱CC1上，且CD＝λCC1(0<λ≤1)．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)当λ＝时，求异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值；(2)若二面角A－B1D－A1的平面角为，求λ的值．解 (1)易知A，B1，A1.当λ＝时，因为BC＝CD＝2,∠BCC1＝，所以C，D.所以＝，＝.所以cos〈，〉＝，＝＝－.故异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值为.(2)由CD＝λCC1可知，D，所以＝，由(1)知，＝
