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《全国通用版2019高考数学二轮复习专题四立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向量方法学案理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 立体几何中的向量方法[考情考向分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．热点一 利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝
2、kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.例1 如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明 (1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)
3、，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．∵点E，F分别是PC，PD的中点，∴E，F，＝，＝(1,0,0)．∵＝－，∴∥，即EF∥AB，又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)由(1)可知，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，∵·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.思维升华 用
4、向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．跟踪演练1 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明 方法一 (1)由题意，得AB，
5、AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.＝，＝(－1,0,0)，∴·＝0，∴⊥.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
6、由得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.方法二 (1)＝＋＋＝－＋＝(＋)－＋＝－－＋＝－(＋)－＋＝－－.∴向量与向量，共面，BF，BC⊂平面BCF，又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)由题意及(1)知，BF，BC，BA两两垂直，∵＝，＝－，∴·＝·＝0，·＝·(－)＝－2＋2＝0，∴⊥，⊥，即OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，CD，FC⊂平面EFCD，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.热点二 利用
7、空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝＝
8、cos〈a，μ〉
9、.(3)二面角设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)，则
10、cosθ
11、＝＝
12、cos〈μ，v〉
13、.例2 (2018·泉州质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60
14、°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点．(1)求证：BE∥平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值．(1)证明 取PD中点F，连接CF，EF.因为点E为PA的中点，所以EF∥AD且EF＝AD，又因为BC∥AD且BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC，所以四边形BCFE为平行四边形，所以BE∥CF，又BE⊄平面PCD
