2019届高考数学二轮复习专题三立体几何第3讲立体几何中的向量方法学案理

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1、第3讲　立体几何中的向量方法高考定位　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析　法一　以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.　图(1)　　　　　　　　　　　图(2)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在△ABC中，∠ABC

2、＝120°，AB＝2，则A(－1，，0).所以＝(1，－，1)，＝(1，0，1)，则cos〈，〉＝＝＝＝，因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.法二　如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，23∴MN＝AB1＝，NP＝BC1＝.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，则可知△PQM为直角三角形，且PQ＝1，MQ＝AC，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×＝7，AC＝，则MQ＝，则△MQP中，MP

3、＝＝，则△PMN中，cos∠PNM＝＝＝－，又异面直线所成角范围为，则余弦值为.答案　C2.(2018·全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.(1)证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CDM，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.由于DM⊂

4、平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)解　以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.当三棱锥M－ABC体积最大时，M为的中点.由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，23＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，0).设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n＝(1，0，2).又是平面MCD的法向量，因此cos〈n，〉＝＝，sin〈n，〉＝.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值为.3.(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分

5、别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明　由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解　作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，以的方向为y轴的正方向，

6、

7、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，

8、故EF2＝PE2＋PF2，所以PE⊥PF.可得PH＝，EH＝.则H(0，0，0)，P，D，＝，＝为平面ABFD的一个法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ，23则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.考点整合1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α

9、∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝＝

10、cosa，μ

11、.(3)面面夹角设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，则

12、cosθ

13、＝＝

14、cosμ