2019届高考数学二轮复习 专题三 第2讲 立体几何中的向量方法（理）学案

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1、第2讲立体几何中的向量方法考向预测以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查．知识与技巧的梳理1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2

2、．(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3．(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0．2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝．(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则(3)面面夹角设平面α，β的夹

3、角为θ，则热点一　利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD．证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故·＝0．所以BE⊥DC

4、．(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量＝(1，0，0)为平面PAD的一个法向量，而·＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD．(3)由(2)知平面PAD的法向量＝(1，0，0)，向量＝(0，2，－2)，＝(2，0，0)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量．

5、且n·＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n⊥．所以平面PAD⊥平面PCD．探究提高　1．利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系．2．向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件，如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误．【训练1】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面

6、ABD．证明　(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4)．设BA＝a，则A(a，0，0)，所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)．·＝0，·＝0＋4－4＝0，则B1D⊥BA，B1D⊥BD．又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD．(2)由(1)知，E(0，0，3)，G，F(0，1，4)，则＝，＝(0，1，1)，·＝0

7、＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF．又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF．结合(1)可知平面EGF∥平面ABD．热点二　利用空间向量计算空间角【例2】(2019·成都月考)）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，，．（Ⅰ）若异面直线与所成的角为，求棱柱的高；（Ⅱ）设是的中点，与平面所成的角为，当棱柱的高变化时，求的最大值．解：建立如图2所示的空间直角坐标系，设，则有，，，，，，.（Ⅰ）因为异面直线与所成的角，所以，即，得，解得.（Ⅱ）由是的中点，得

8、，于是.设平面的法向量为，于是由，，可得即，可取，于是.而，令，因为，当且仅当，即时，等号成立.所以，故当时，的最大值.探究提高1．异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cosθ＝

9、cosφ

10、．2．直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝

11、cosφ

12、，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两方向向量的夹角(或其补角)．3．二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二