高考数学二轮专题训练：专题三 第2讲 三角变换与解三角形.pdf

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1、第2讲　三角变换与解三角形考情解读　1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.tanα±tanβ(3)tan(α±β)＝.1∓tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.2tanα

2、(3)tan2α＝.1－tan2α3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理abc＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．sinAsinBsinC变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.abcsinA＝，sinB＝，sinC＝.2R2R2Ra∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2推论：cosA＝，co

3、sB＝，cosC＝.2bc2ac2ab变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式111S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.2227．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一　三角变换π43π2π例1(1)已知sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于()352343A．－B．－5543C.D.55ππ1＋sinβ(

4、2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则()22cosβππA．3α－β＝B．2α－β＝22ππC．3α＋β＝D．2α＋β＝222思维启迪　(1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋π)进行比较．3(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．答案　(1)C(2)Bπ43π解析(1)∵sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，3523343∴sinα＋cosα＝－，225314∴sinα＋cosα＝－，2252π2π2π∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin333134＝－cosα－sinα＝.2251＋sinβsin

5、α1＋sinβ(2)由tanα＝得＝，cosβcosαcosβ即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，π∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)．2ππ∵α∈(0，)，β∈(0，)，22ππππ∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，2222ππ∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，22π∴2α－β＝.2思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情

6、况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．π　设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.3(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；θcos2θ(2)若θ是第二象限角，且f()＝0，求的值．21＋cos2θ－sin2θπππ1－cos2x13解　(1)f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x.3332222π1＋3所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为.22θ(2)因为f()＝0，2133所以－sinθ＝0，即sinθ＝，223又θ是第二象限角，6所以cosθ＝－1－sin2θ＝－.3co

7、s2θcos2θ－sin2θcosθ＋sinθcosθ－sinθcosθ＋sinθ所以＝＝＝1＋cos2θ－sin2θ2cos2θ－2sinθcosθ2cosθcosθ－sinθ2cosθ63－＋336－32－2＝＝＝.62642×－3热点二　解三角形cosB2ab例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sinA，＋＋＝cosCcc0.(1)求边c的大小；(2)求△